半單李羣

半單李羣(semi-simple Lie group)是與半單李代數相應的李羣。設G為連通李羣，若它的李代數為半單李代數，則G稱為半單李羣。連通李羣G必為最大可解正規子羣R和一個半單子羣S的半直乘積G=R·S，即R∩S為G的中心內的離散子羣，且R及S為G的閉子羣。但是，分解不惟一，於是連通李羣的結構問題，化為可解李羣及半單李羣的結構問題。 ^[2] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

李羣是由挪威數學家S.李創立的一類連續變換羣。

1870年前後，S.李開始研究連續變換羣的概念，並用它們闡明微分方程的解，將微分方程進行分類。1874年，他建立了李羣的一般理論。一個李羣可以表示成如下形式：

其中f_i對x_i和a_i都是解析的，x_i是變量，而a_i是參數，(x₁，x₂，…，x_n)表示n維空間中的一點。變量或參數都取實數值或複數值。1883年，S.李藉助於一組微分方程定義連續變換羣。他的目的是用各種不同的方法把常微分方程的不同類型化成可由積分求解的形式，並建立起它們之間的一致性。S.李證明，如果一階常微分方程接受由某個無窮小變換所確定的變換羣，那麼這個微分方程的解就可由積分式表達。他還考察了許多種帶有已給變換的方程。這樣一來，S.李就依據無窮小變換把微分方程進行分類。

李羣理論在最初的相當長一段時間內僅與一些微分方程的積分有聯繫，而與數學的其他分支關係不大。在19世紀的最後10年以及20世紀，李羣理論在各種不同方向，主要是代數學和拓撲學方面得到了迅速的發展，成為數學的一個重要分支。李羣理論的第一個近代化的敍述是由原蘇聯數學家龐特里亞金於1938年給出的。20世紀50年代，李羣理論的發展進入了一個新的階段，主要標誌是代數羣論的創立。代數幾何方法的應用使李羣理論的經典結果得到新的闡述，從而揭示了它與函數論、數論等理論的深刻聯繫。緊接着，p進李羣的理論也得到重大發展。事實上，李羣理論與數學的幾個主要分支都有聯繫：通過李變換羣與幾何學、拓撲學的聯繫，通過線性表示論與分析的聯繫等。李羣在物理學和力學中也有着重要應用。

正規子羣亦稱不變子羣。是一類重要的子羣。在共軛作用下不變的子羣。設H是羣G的一個子羣，若對任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子羣，記為HG.子羣H是G的正規子羣的充分必要條件是對於任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子羣，稱為G的平凡正規子羣。

李代數是一類重要的非結合代數。非結合代數是環論的一個分支，與結合代數有着密切聯繫。結合代數的定義中把乘法結合律刪去，就是非結合代數。

李代數是挪威數學家S.李在19世紀後期研究連續變換羣時引進的一個數學概念，它與李羣的研究密切相關。在更早些時候，它曾以含蓄的形式出現在力學中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發端時代。可用李代數語言表述的最早事實之一是關於哈密頓方程的積分問題。S.李是從探討具有r個參數的有限單羣的結構開始的，並發現李代數的四種主要類型。法國數學家É.嘉當在1894年的論文中給出變數和參變數在複數域中的全部單李代數的一個完全分類。他和德國數學家基靈都發現，全部單李代數分成4個類型和5個例外代數，É.嘉當還構造出這些例外代數。É.嘉當和德國數學家外爾還用表示論來研究李代數，後者得到一個關鍵性的結果。“李代數”這個術語是1934年由外爾引進的。隨着時間的推移，李代數在數學以及古典力學和量子力學中的地位不斷上升。到20世紀80年代，李代數不再僅僅被理解為羣論問題線性化的工具，它還是有限羣理論及線性代數中許多重要問題的來源。李代數的理論不斷得到完善和發展，其理論與方法已滲透到數學和理論物理的許多領域。

李代數是一類重要的非結合代數。記L為域F上的線性空間，若L中除了加法和純量積，還有第三種代數運算：L×L→L，記為[x，y]，x，y∈L，它適合條件：

1.反對稱性　[x，x]=0，　x∈L.

2.雙線性性　[λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.

3.Jacobi恆等式　[[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.

則[x，y]稱為x和y的換位運算，亦稱“方括號運算”.這時L稱為域F上李代數，簡稱李代數.當L的維數有限時，稱為有限維李代數;當L的維數無限時，稱為無限維李代數。例如，若L為域F上的結合代數，滿足結合律的乘法，記為ab，a，b∈L，則運算[a，b]=ab-ba，a，b∈L為換位運算.在此運算下，L為李代數。特別地，若L為由所有n×n矩陣構成的結合代數，則在矩陣運算下定義 ^[3] 

[A，B]=AB-BA

便構成一個n維李代數。

S.李是挪威數學家。生於努爾菲尤爾埃德，卒於克里斯蒂安尼亞(今奧斯陸)。1865年畢業於克里斯蒂安尼亞大學。1869年獲獎學金到柏林留學，與C.F.克萊因在一起工作並結為好友。第二年在巴黎又結識了達布和若爾當，受到法國學派的影響。1871年回國在克里斯蒂安大學執教，1872年獲博士學位。1886年到萊比錫大學接替C. F.克萊因的職務主持數學講座，12年後返回挪威。1892年當選為法國科學院院士。1895年成為英國皇家學會會員。他還是許多其他科學機構的成員。S.李的主要貢獻在以他的名字命名的李羣和李代數方面。1870年，他從求解微分方程入手，依靠微分幾何方法和射影幾何方法建立起一種變換，將空間直線簇和球面一一對應。不久他發現，這種對應是連續的，能將微分方程的解表示出來並加以分類。由此S.李引入了一般的連續變換羣概念，證明了一系列定理來發展他的理論。他把微分方程的自同構羣作為工具，對二維羣和三維羣進行分類。在以後的多年中，S.李和他的助手繼續豐富完善連續羣論學説，出版了3卷本的專著《變換羣論》(1888—1893)，後人為紀念他的貢獻，將連續羣改稱“李羣”。為研究李羣，他還創立了所謂“李代數”——一種由無窮小變換構成的代數結構，並研究了二者之間的對應關係。李代數現已成為現代代數學的重要分支。此外，S.李在代數不變量理論、微分幾何學、分析基礎和函數論等方面也有建樹。S.李的工作在20世紀初由法國數學家E.嘉當等加以發展。 ^[4]