函數逼近論

從18世紀到19世紀初期，在L.歐拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里葉、J.-V.彭賽列等數學家的研究工作中已涉及一些個別的具體函數的最佳逼近問題。這些問題是從諸如繪圖學、測地學、機械設計等方面的實際需要中提出的。在當時沒有可能形成深刻的概念和統一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函數類是n次多項式時最佳逼近元的性質，建立了能夠據以判斷多項式為最佳逼近元的特徵定理。他和他的學生們研究了與零的偏差最小的多項式的問題，得到了許多重要結果。已知[α,b]區間上的連續函數ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n階最佳一致逼近值，簡稱為最佳逼近值，簡記為En(ƒ)。能使極小值實現的多項叫做 ƒ(x)的n階最佳逼近多項式。切比雪夫證明了，在區間[-1,1]上函數x_n+1的n階最佳逼近多項式 必滿足關係式。多項式就是著名的切比雪夫多項式。切比雪夫還證明了ƒ(x)在[α,b]上的n 階最佳逼近多項式的充分必要條件是：在[α，b]上存在着n+2個點：α≤x₁<x₂<…x_n+2≤b，在這些點上依照i=1,2,…,n+2的次序交錯變號，像這樣的點組{x₁,x₂,…,x_n+2} 便是著名的切比雪夫交錯組。

1885年德國數學家K.（T.W.）外爾斯特拉斯在研究用多項式來一致逼近連續函數的問題時證明了一條定理，這條定理在原則上肯定了任何連續函數都可以用多項式以任何預先指定的精確度在函數的定義區間上一致地近似表示，但是沒有指出應該如何選擇多項式才能逼近得最好。如果考慮後一個問題，那麼自然就需要考慮在次數不超過某個固定整數 n的一切多項式中如何來選擇一個與ƒ(x)的一致誤差最小的多項式的問題，而這正好是切比雪夫逼近的基本思想。所以可以説切比雪夫和外爾斯特拉斯是逼近論的現代發展的奠基者。 ^[1] 

20世紀初在一批傑出的數學家，包括С.Η.伯恩斯坦、D．傑克森、 瓦萊－普桑、H.L.勒貝格等人的積極參加下，開創了最佳逼近理論蓬勃發展的階段。這一理論主要在以下幾個方面取得了很大進展：

①最佳逼近的定量理論

在逼近論中系統地闡明函數的最佳逼近值En(ƒ)（藉助於代數多項式來逼近，或者對2π週期函數藉助於三角多項式來逼近，或藉助於有理函數來逼近等等）的數列當n→∞時的性態和函數ƒ（x）的構造性質（可微性、光滑性、解析性等等）之間內在聯繫的理論統稱為定量理論。函數的構造性質與其最佳逼近值之間的深刻聯繫這一問題，是在50年代由蘇聯數學家Α.Ф.季曼、Β.К.賈德克解決的。

傑克森、伯恩斯坦等人的工作對逼近論的發展所產生的影響是深遠的。沿着他們開闢的方向繼續深入，到20世紀30年代中期出現了J.A.法瓦爾、Α.Η.柯爾莫哥洛夫關於週期可微函數類藉助於三角多項式的最佳逼近的精確估計以及藉助於傅里葉級數部分和的一致逼近的漸近精確估計的工作。這兩個工作把從傑克森開始的逼近論的定量研究提高到一個新的水平。從那時起，直到60年代，以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶澤爾等人為代表的很多逼近論學者在定量研究方面繼續有許多精深的研究工作。 ^[2] 

②逼近論的定性理論

切比雪夫發現了連續函數的最佳逼近多項式的特徵，提出了以切比雪夫交錯點組著稱的特徵定理。最佳逼近多項式是唯一存在的。最佳逼近多項式的存在性、唯一性及其特徵定理都是定性的結果，對這些問題的深入研究構成了逼近論定性研究的基本內容。匈牙利數學家A.哈爾在1918年首先研究了用廣義多項式在[α，b]上對任意連續函數ƒ的最佳逼近多項式的唯一性問題。在[α，b]上給定n+1個線性無關的連續函數作為逼近函數類，如下式

式中α₀,α₁,…,α_n是任意參數。這樣的P(x)稱為廣義多項式。在20世紀20～30年代，伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人對滿足哈爾條件的函做過很多深入的研究。它在逼近論、插值論、樣條分析、矩量論、數理統計中有着比較廣泛的應用。

關於最佳逼近多項式的切比雪夫特徵定理也有很多進一步的研究和推廣。其中最重要的一個推廣是柯爾莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及複平面的閉集上的復值連續函數藉助於復值廣義多項式的一致逼近問題（見複變函數逼近）。到50～60年代，經過一些學者的努力，抽象逼近的定性理論建立起來。 ^[2] 

③線性算子的逼近理論

最佳逼近多項式和被逼近函數間的關係除了平方逼近的情形外一般都不是線性關係。線性關係比較簡單，線性算子比較容易構造。所以在逼近論發展中人們一直非常重視對線性逼近方法的研究，形成了逼近論中一個很重要的分支──線性算子的逼近理論。針對特定的函數類、特定的逼近問題設計出構造簡便、逼近性能良好的線性逼近方法與研究各種類型的線性逼近方法（算子）的逼近性能，一直是線性算子逼近理論的中心研究課題。在這一方面，幾十年來取得了十分豐富的成果。比較著名的經典結果有E.B.沃羅諾夫斯卡婭、G.G.洛倫茨等對經典的伯恩斯坦多項式的研究；柯爾莫哥洛夫、尼科利斯基等對週期可微函數的傅里葉級數部分和的逼近階的漸近精確估計；40～60年代許多逼近論學者對作為逼近方法的傅里葉級數的線性求和過程逼近性能的研究（包括對傅里葉級數的費耶爾平均、泊松平均、瓦萊·普桑平均等經典的線性平均方法的研究）。50年代初期科羅夫金深入研究了線性正算子作為逼近方法的特徵，開闢了單調算子逼近理論的新方向（見線性正算子逼近）。40年代中期法瓦爾在概括前人對線性算子逼近的研究成果的基礎上，提出了線性算子的飽和性概念做為刻畫算子的逼近性能的一個基本概念，開闢了算子飽和理論研究的新方向。 ^[2] 

④函數逼近的數值方法

從實際應用的角度來看，要解決一個函數的最佳逼近問題，需要構造出最佳逼近元和算出最佳逼近值。一般説要精確解決這兩個問題十分困難。這種情況促使人們為尋求最佳逼近元的近似表示和最佳逼近值的近似估計而設計出各種數值方法。一個數值方法中包含着有限個確定的步驟，藉助它對每一個函數ƒ可以在它的逼近函數類P(x，α₀,α₁,…,α_n)中求出一個函數作為最佳逼近元的近似解，並且可以估計出誤差。數值方法自然不限於函數的最佳逼近問題。在插值、求積（計算積分的近似值）、函數的展開理論中也都建立了相應的數值方法。近20年來由於快速電子計算機的廣泛應用，數值逼近理論和方法的研究發展很快，成為計算數學和應用數學的重要分支。

除了以上列舉的幾個方向外，還發展了插值逼近、藉助於非線性集（如有理函數）的逼近、聯合逼近、在抽象空間內的逼近等等。 ^[2] 

⑤多元函數的逼近

多元函數的逼近問題具有很重要的理論和實踐意義。由於在多元函數的逼近問題中包含了很多為單變元情形所沒有的新的困難，所以多元函數的逼近論比單變元情形的發展要慢得多和晚得多。在多元逼近的情形下已經研究得比較充分的一個基本問題是函數借助於三角多項式或指數型整函數的最佳逼近階和函數（在一定意義下的）光滑性之間的關係。這一工作主要是由蘇聯學者尼柯利斯基和他的學生們於50～60年代完成的。它除了對函數逼近論本身有重要意義之外，還有很多重要應用。例如，對研究多元函數在低維子流形上的性質，多元函數在一定要求下的開拓問題等都有重要作用。後一類問題的研究屬於泛函分析中的嵌入定理。近年來，在多元函數的線性算子逼近、插值逼近、樣條逼近和用單變元函數的複合近似表示多元函數等方面都有所進展。

函數逼近論已成為函數理論中最活躍的分支之一。科學技術的蓬勃發展和快速電子計算機的廣泛使用給它的發展以強大的刺激。現代數學的許多分支，包括基礎數學中象拓撲、泛函分析、代數這樣的抽象學科以及計算數學、數理方程、概率統計、應用數學中的一些分支都和逼近論有着這樣那樣的聯繫。函數逼近論正在從過去基本上屬於古典分析的一個分支發展成為同許多數學分支相互交叉的、密切聯繫實際的、帶有一定綜合特色的分支學科。 ^[2] 

給定函數ƒ(x)，用來逼近ƒ(x)的函數一般要在某個較簡單的函數類中找，這種函數類叫做逼近函數類。逼近函數類可以有多種選擇。n次代數多項式，亦即一切形如

（其中α⁰,α¹,…,αⁿ是實數，k=0，1，…）的函數的集合；n階三角多項式，亦即一切形如

(其中α⁰,α¹,…,αⁿ,b¹,b²,…,bⁿ是實數，k=1,2,…）的函數的集合，這些是最常用的逼近函數類。其他如由代數多項式的比構成的有理分式集，由正交函數系的線性組合構成的（維數固定的）線性集，按照一定條件定義的樣條函數集等也都是很有用的逼近函數類。在一個逼近問題中選擇什麼樣的函數類作逼近函數類，這要取決於被逼近函數本身的特點，也和逼近問題的條件、要求等因素有關。 ^[1] 

給定ƒ並且選定了逼近函數類之後，如何在逼近函數類中確定作為ƒ的近似表示函數g的方法是多種多樣的。例如插值就是用以確定逼近函數的一種常見方法。所謂插值就是要在逼近函數類中找一個g(x)，使它在一些預先指定的點上和ƒ(x)有相同的值，或者更一般地要求g(x)和ƒ(x)在這些指定點上某階導數都有相同的值。利用插值方法來構造逼近多項式的做法在數學中已有相當久的歷史。微積分中著名的泰勒多項式便是一種插值多項式。

此外，在各種逼近問題中，線性算子也是廣泛應用的一大類逼近工具。所謂線性算子是指某種逼近方法l，對於被逼近函數 ƒ、g，在逼近函數類中有l(ƒ)、l(g)近似表示它們，並且對於任意實數α、β都有l(αƒ+βg)=αl(ƒ)+βl(g)。線性算子逼近方法構造方便。一個典型的例子是2π週期的連續函數ƒ(x)的n 階傅里葉部分和Sn(ƒ,x)，它定義了一個由2π週期的連續函數集到n階三角多項式集內的線性算子Sn。Sn(ƒ,x)可以用來近似表示ƒ(x)。

除了線性算子，在逼近問題中還發展了非線性的逼近方法。這方面最基本的工作是上世紀中葉由俄國數學家∏.Л.切比雪夫提出的最佳逼近。1859年切比雪夫結合機械設計問題的研究提出並討論了下述類型的極值問題：已知[α，b]區間上的連續函數ƒ(x)，P(x,α₀,α₁,…,α_n)是依賴於參數α₀,α₁,…,α_n的初等函數(如多項式，有理分式)，用P(x, α₀,α₁,…,α_n)來近似表示ƒ(x)，如果產生的誤差用來衡量，要求選擇一組參數使誤差最小。這就是尋求極小問題的解。當參數給出最小誤差時，就叫做ƒ(x)在P(x,α₀,α₁,…,α_n)所構成的函數類中的一個最佳逼近元；數值叫做ƒ(x)藉助於函數P(x, α0,α1,…,αn)來逼近時的最佳逼近值。切比雪夫研究了P(x, α₀,α₁,…,α_n)是n次多項式（n 是固定整數, α₀,α₁,…,α_n是係數，它們是可以任意取值的參數）的情形。這裏的最佳逼近依賴於ƒ，但不是線性依賴關係。所以説切比雪夫的最佳逼近是一種非線性的逼近。 ^[2] 

誤差又稱逼近度。為了衡量函數g對ƒ的近似程度（逼近度），在逼近論中廣泛應用抽象度量空間內的度量概念。對於在逼近問題中經常遇到的一些函數類，常用到的度量有以下幾種：

①定義在[α，b]上的全體連續函數C在[α，b]中任何兩個函數ƒ(x),g(x)的接近程度可以按

來規定。按這種度量引出的逼近度叫做一致逼近度；

②定義在[α，b]上的全體平方可積函數l2[α，b]內任何兩個函數ƒ(x)，g(x)的接近程度可按公式

來規定，這便是平方逼近度；

③定義在[α，b]上的全體P 次冪可積函數lp[α，b](p≥1)內可以取

作為度量，由它產生的逼近度叫做p次冪逼近度。 ^[2]