線性正算子逼近

在函數的逼近問題中，很多用代數多項式或三角多項式作逼近手段的逼近過程，比如熟知的泰勒級數的部分和。傅里葉級數的部分和，各種典型平均以及各種插值多項式等等都是一些線性算子。

一般地講，設{Ln}是巴拿赫空間x（例如連續函數空間C，p次可積函數空間Lp(p≥1)等）到自身的線性算子序列，則算子逼近主要研究如下兩個方面的課題。

①對於給定的算子序列{Ln}，當n→∞時，對任意確定的f∈x，序列Ln(f)是否依x上的範數收斂於f這個問題的研究通常用建立算子序列的收斂定理來實現。

②研究f的光滑性與逼近度‖f-Ln(f)‖X趨於零的速度之間的關係。這個問題的研究通常用建立算子逼近中的直接定理、逆定理，考察算子逼近的飽和現象以及某些特殊函數類的逼近度量來實現。當{Ln}是線性正算子序列（即對每個n和f≥0，恆有Ln(f)≥0）時，上述兩個方向的研究是比較深入的。

特別是∏.∏.科羅夫金提出試驗集概念之後，在C空間和Lp空間中成功地建立了用線性正算子逼近的收斂定理，以及利用線性正算子對試驗集中函數的逼近度建立各種直接定理和逆定理。

關於線性正算子飽和現象的研究，在週期情況下，利有傅里葉變換技巧獲得較完善的結果;在非週期情況，則利用拋物線技巧得到解決。

應當指出，由於線性正多項式算子的逼近階不高於1/n2，因而作為解決逼近論中基本問題的良好工具，線性正多項式算子的應用有一定的侷限性。

然而，對於上面提出的兩個方向的研究，線性正算子逼近中的正性是本質的，因為正如C.M.洛津斯基、Ф.И.哈爾希拉布澤所指出的：不存在非正性的線性多項式算子序列能夠肯定地回答第一個問題。線性正算子逼近的研究，在中國取得不少新的成果，提出過一些新的方法，同時在應用上也取得了新的進展。 ^[1]