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單調算子
鎖定
單調算子（monotonic operator）的概念起源於可微凸泛函的導數。設φ是在B空間X上定義的這種函數，則 <φ'(x)-φ'(y),x-y>≥0，對任意的x,y∈X，其中<，>表示X'與X之間的對偶。直線上的可微凸函數的導函數是單調不減的，於是就把滿足特定條件的算子T:X→X'，稱為單調算子，如果α>0則稱為強單調算子。自反B空間上弱線段連續的強單調算子是 X→X* 的滿射(所謂弱線段連續，指對任意的x,y∈X，T(x+ty)→T(x)當 t→0)。這個滿射性定理是G.J.明蒂、F.E.布勞德給出的，它在非線性算子半羣理論、非線性發展方程以及一類非線性橢圓型方程的存在性理論中經常用到。
[1]
- 中文名
- 單調算子
- 外文名
- monotonic operator
- 起 源
- 可微凸泛函的導數
- 類 型
- 導數
- 學 科
- 數學
- 類 別
- 數學術語
單調算子單調算子的概念
設X是實Banach空間，X'是X的共軛空間。
定義1.1，設
，算子T：D→X'，如果滿足條件：
從這個定義可以看出，若T是線性算子，則T為單調的充要條件是
。
設
，稱G為單調集，如果
單調算子單調算子的基本性質
命題1.1，設H是Hilbert空間，則T：H→2H為單調的充要條件是
定義1.2，設
，算子T：D→X'。
（1）設x0∈D，如果xn∈D，
，則稱T在x0處是次連續的（demi-continuous）。若T在D內每一點都次連續，則稱T在D上次連續。
（2）設x0∈D，若h∈X，tn>0，x0+tnh∈D，
，則稱T在x0是半連續的（hemi-continuous）。若T在D內每一點都半連續，則稱T在D上半連續。
（3）設x0∈D，T稱為在x0處是局部有界的，如果存在x0的領域U，使得集合
顯然，T在x0處連續→T在x0處半連續且T在x0處局部有界。
命題1.2，設T是極大單調算子，[xn，yn]∈G(T)滿足xn→x，yn→y且
，則[x，y]∈G(T) 且
。
