導函數

如果函數f(x)在(a,b)中每一點處都可導，則稱f(x)在(a,b)上可導，則可建立f(x)的導函數，簡稱導數，記為f'(x)。

如果f(x)在(a,b)內可導，且在區間端點a處的右導數和端點b處的左導數都存在，則稱f(x)在閉區間[a,b]上可導，f'(x)為區間[a,b]上的導函數，簡稱導數 ^[1]  。

若將一點擴展成函數f(x)在其定義域包含的某開區間I內每一個點，那麼函數f(x)在開區間內可導，這時對於開區間內每一個確定的值，都對應着f(x)的一個確定的導數，如此一來每一個導數就構成了一個新的函數，這個函數稱作原函數f(x)的導函數，記作：y'或者f′(x)。

函數f(x)在它的每一個可導點x。處都對應着一個唯一確定的數值——導數值f′(x)，這個對應關係給出了一個定義在f(x)全體可導點的集合上的新函數，稱為函數f(x)的導函數，記為f′(x)。

導函數的定義表達式為：

值得注意的是，導數是一個數，是指函數f(x)在點X₀處導函數的函數值。但通常也可以説導函數為導數，其區別僅在於一個點還是連續的點。

其中C為常數

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]

設 y=u(t) ，t=v(x)，則 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)

例 ：y = t^2 ，t = sinx ，則y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x

如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在上都有定義，那麼該函數是不是在定義域上處處可導呢？答案是否定的。函數在定義域中一點可導需要一定的條件是：函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。這實際上是按照極限存在的一個充要條件（極限存在它的左右極限存在且相等）推導而來。

例如：f(x)=|x|在x=0處雖連續，但不可導（左導數-1，右導數1）

上式中，後兩個式子可以定義為函數在

處的左右導數：

一般地，設函數y=f(x)在某個區間內有導數，如果在這個區間y'>0，那麼函數y=f(x)在這個區間上為增函數：如果在這個區間y'<0，那麼函數y=f(x)在這個區間上為減函數；如果在這個區間y'=0，那麼函數y=f(x)在這個區間上為常數函數。

一般地，設函數y=f(x)在x=X₀及其附近有定義，如果

的值比

附近所有各點的函數值都大，我們説

是函數y=f(x)的一個極大值；如果

的值比

附近所有各點的函數值都小，我們説

是函數y=f(x)的一個極小值。極大值與極小值統稱極值。

在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數值。請注意以下幾點：

1．極值是一個局部概念。根據定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，並不意味着它在函數的整個的定義域內最大或最小。

2．函數的極值不是唯一的。即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。

3．極大值與極小值之間無確定的大小關係。即一個函數的極大值未必大於極小值。

4．函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點。而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點。

5．在函數取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有 f'(x) =0。但反過來不一定。如函數y=x3，在x=0處，曲線的切線是水平的，但這點的函數值既不比它附近的點的函數值大，也不比它附近的點的函數值小。　若

滿足 =0，且在

的兩側f(x)的導數異號，則

是f(x)的極值點，

是極值，並且如果 在x0兩側滿足“左正右負”，則

是f(x)的極大值點，f(

)是極大值；如果 在x0兩側滿足“左負右正”，則

是f(x)的極小值點，f(

)是極小值。

6.極值與最值的區別：極值是在局部對函數進行比較，最值是在整體區間上對函數值進行比較。