三角多項式

在數學中，三角多項式是一類基於三角函數的函數的總稱。三角多項式是可以表示成有限個正弦函數sin(nx) 和餘弦函數cos(nx) 的和的函數，其中的x 是變量，而n 是一個自然數。三角多項式中每一項的係數可以是實數或者複數。如果係數是複數的話，那麼這個三角多項式是一個傅里葉級數。

三角多項式在許多數學分支，如數學分析和數值分析中都有應用，例如在傅里葉分析中，三角多項式被用於傅里葉級數的表示，在三角插值法中，三角多項式被用於逼近週期性函數。

形如

的多項式，式中係數

，

為任意給定的實數，

不全為零。

稱為此三角多項式的階數。任何一個三角多項式都是週期

的週期函數，因此對於三角多項式的研究往往只要在長為

的半開區間中進行。任何兩個三角多項式的和、差、積仍然是個三角多項式，而且,若

與

分別為

階與

階三角多項式，且

，則

是個階不超過

的三角多項式，

是階為

的三角多項式。利用歐拉公式

其中，

任意一個階三角多項式都可寫成：

式中

階三角多項式在任一長為

的半開區間中，最多隻有

個零點。因此,若兩個

階三角多項式在長為

的半開區間中有

個點處取值相同，則此兩個三角多項式完全相同。

對於

階三角多項式

，記

常稱為Tn的Lp範數，若1≤p≤p┡≤∞，則

此外還有如下的尼科利斯基不等式

特別有

設Tn(x)是n階三角多項式,Tń(x)是它的導數，則有不等式

這是1912年С.Η.伯恩斯坦發現的，稱為伯恩斯坦不等式。其中係數n不能再減小，例如對任何常數A及α，Tn(x)=A sin(nx+α)都使它成等式。伯恩斯坦不等式在函數逼近論中起着重要的作用,並且有着各種拓廣。例如,С.Б.斯捷奇金於1948年證明,對任何n階三角多項式Tn(x)及自然數k ^[1]  ，都有

對給定的n階三角多項式Tn(x)，記

稱為Tn(x)的共軛三角多項式。對於共軛三角多項式的導數有不等式

這裏係數n也是不能減小的。

應該指出,對於復係數三角多項式Tn(x)（即諸係數αk,bk為複數），同樣有

於是，對於自然數k，有

自然,三角多項式是一類簡單的週期函數,但是，它是近似表示一般的週期函數的有效工具，隨着三角多項式的階的增高，任何連續的週期函數都可以藉助於三角多項逼近到預先給定的程度。反之如果已知這種逼近程度的收斂於零的速度，也就有可能推出被逼近函數的構造性質,這個事實本身是有着深刻的物理意義的,週期運動的分解便是一個明顯的例證。三角多項式是在其他數學、物理、力學等領域中有着廣泛的應用。