傅里葉分析

傅里葉分析（Fourier analysis）是分析學中逐漸形成的一個重要分支，它研究並擴展傅里葉級數和傅里葉變換的概念，又稱調和分析。在過去兩個世紀中，它已成為一個廣泛的主題，並在諸多領域得到廣泛應用，如信號處理、量子力學、神經科學等。

定義於R上的經典傅里葉變換仍然是一個十分活躍的研究領域，特別是在作用於更一般的對象（例如緩增廣義函數）上的傅里葉變換。例如，如果在函數或者信號上加上一個分佈f，我們可以試圖用f的傅里葉變換來表達這些要求。Paley-Wiener定理就是這樣的一個例子。Paley-Wiener定理直接藴涵如果f是緊支撐的一個非零分佈，（這包含緊支撐函數），則其傅里葉變換從不擁有緊支撐。這是在調和分析下的測不準原理的一個非常初等的形式。參看經典調和分析 ^[1]  。

拓撲羣上的數學分析是調和分析更現代的一個分支，源於20世紀中葉。其主要動機是各種傅里葉變換可以推廣為定義在局部緊緻阿貝爾羣上的函數的變換。關鍵是證明普朗歇爾定理的類比。

局部緊緻阿貝爾羣上的調和分析以龐特里亞金對偶性為基石，現已有完整的理論。對於一般的局部緊拓撲羣，調和分析的課題是分類其酉表示。主要對象是李羣與p-進羣。

對於緊羣，任何不可約表示必為有限維幺正表示，彼得-外爾定理斷言：不可約幺正表示的矩陣係數構成

的正交基；映射具有與傅里葉變換相近的性質。藉此可以深究緊羣的結構。

對於非緊亦非交換的羣，須考慮其無窮維表示 ^[1]  。

由於傅里葉變換在旋轉下保持不變，可析之為徑向成分與球面成分，由此導向貝塞爾函數與球諧函數的研究。

這是哈代空間在高維度的推廣 ^[2]  。

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