哈代空間

哈代空間是單位圓內一類重要的解析函數空間。設函數f(z)在單位圓盤|z|<1中解析，若：

對一切0≤r<1有界，則稱f(z)屬於函數族

。

族是由哈代(Hardy，G.H.)在1915年首先提出的，並對此做了一系列的研究工作，他證明了著名的凸定理：log M_p(r，f)是log r的凸函數。

在20世紀上半葉，還有許多數學家，如法圖(Fatou，P.J.L.)、李特爾伍德(Littlewood，J.E.)、里斯(Riesz，F.和Riesz，M.)、賽格(Szego¨，G.)和斯米爾諾夫(Смирнов，В.И.)等人對哈代族進行了研究並取得一系列相當深刻的結果.但那時對H的研究侷限於所謂的“硬”分析範圍，如研究H函數的邊界性質及冪級數等，所用的工具也主要是複變函數與實變函數論.到了20世紀50年代，數學家們將

看做度量空間，如對1≤p≤+∞，定義範數‖f‖_p=M_p(1，f)，則

是巴拿赫空間；對0<p<1，對f，g∈H，定義距離：

則是弗雷歇空間。引進泛函分析等工具，將“軟”“硬”分析結合起來研究空間，20世紀70年代和80年代，對的研究非常活躍，並得到了許多引人注目的結果。如在1971年，美國青年數學家費弗曼(Fefferman，C.)證明了的對偶空間為BMOA空間。費弗曼主要由於理論的研究，獲得了1978年的菲爾茲獎。 ^[2] 

理論不僅對分析和函數論(包括泛函分析和調和分析)本身有着深刻的影響，而且與數學的一些其他分支，如微分方程、概率論及力學等都有交叉聯繫。單位圓盤的

空間的主要研究問題有：邊界性質、積分表示、泰勒係數、結構問題、解析投影算子、對偶空間、極值問題及插值問題等。 ^[3] 

單位圓盤上的

空間可以推廣到平面上任意區域和雙曲型黎曼曲面上，也可推廣到

上去。與

空間有關的重要函數類有奈望林納類N和有界平均振動解析函數類BMOA。可以證明：

設f(z)是單位圓盤D內的解析函數，ζ是∂D上的給定點，如果當z在D內以ζ為頂點的任何角形區域內趨於ζ時，f(z)都趨於一確定值，則稱f(z)在ζ有非切向極限值，記為f(ζ)。1923年，里斯證明了，若f∈H(0<p<+∞)，則f(z)在∂D上幾乎處處有非切向極限值f(e)，且f(e)∈L[0，2π]。同年，里斯還證明了，若f(z)∈H(0<p≤+∞)，f(z)≢0，則f(z)=B(z)g(z)。這裏B(z)是由f(z)在|z|<1內所有零點所構成的布拉施克乘積，而g∈H且g在|z|<1中沒有零點。1929年，斯米爾諾夫進一步地對g進行分解，得到下述結果：若f(z)∈H，f(z)≢0，則：

這裏c是實數，S(z)是奇異內函數，F(z)是外函數，即：

其中μ(t)是非減的有界變差函數，其導函數幾乎處處等於零。 ^[4] 

單位圓盤上的解析函數稱為內函數，如果f∈

，且

在∂D上幾乎處處成立。可以證明，f(z)為內函數的充分必要條件是f(z)能寫成如下形式：

這裏c為實數，B(z)為布拉施克乘積，S(z)為奇異內函數。內函數與不變子空間有密切的聯繫。令S為

的位移算子，即S(f)=zf(z)，f∈

。

的一個子空間M稱為在S下不變，若zM⊂M。1949年，博靈(Beurling，A.)證明了下面的著名定理：H的子空間M在S下不變的充分必要條件是存在內函數G，使得：

此定理在泛函分析中也有重要意義。 ^[5]