凸函數

凸函數是指一類定義在實線性空間上的函數。 ^[1] 

注意：中國大陸數學界某些機構關於函數凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函數。Concave Function指凸函數。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和數學教材是反的。舉個例子，同濟大學高等數學教材對函數的凹凸性定義與本條目相反，本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集，而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集，兩者定義正好相反。

另外，也有些教材會把凸定義為上凸，凹定義為下凸。碰到的時候應該以教材中的那些定義為準。

凸函數是一個定義在某個向量空間的凸子集C上的實值函數f，而且對於凸子集C中任意兩個向量

、

有

成立。

於是容易得出對於任意（0,1）中有理數

，有

如果f連續，那麼

可以改變成區間（0,1）中的任意實數。

若這裏凸集C即某個區間I，那麼就是：設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點

和任意的實數

，總有

則f稱為I上的凸函數，當定義中的“≤”換成“<”也成立時，對應可稱函數f為對應子集或區間上的嚴格凸函數。 ^[2] 

判定方法可利用定義法、已知結論法以及函數的二階導數，對於實數集上的凸函數，一般的判別方法是求它的二階導數，如果其二階導數在區間上大於等於零，就稱為凸函數。如果其二階導數在區間上恆大於0，就稱為嚴格凸函數。 ^[3] 

定義在某個開區間C內的凸函數f在C內連續，且在除可數個點之外的所有點可微。如果C是閉區間，那麼f有可能在C的端點不連續。

一元可微函數在某個區間上是凸的，當且僅當它的導數在該區間上單調不減。

一元連續可微函數在區間上是凸的，當且僅當函數位於所有它的切線的上方：對於區間內的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特別地，如果f '(c) = 0，那麼c是f(x）的最小值。

一元二階可微的函數在區間上是凸的，當且僅當它的二階導數是非負的；這可以用來判斷某個函數是不是凸函數。如果它的二階導數是正數，那麼函數就是嚴格凸的，但反過來不成立。例如，f(x) = x4的二階導數是f "(x) = 12 x2，當x = 0時為零，但x4是嚴格凸的。

更一般地，多元二次可微的連續函數在凸集上是凸的，當且僅當它的黑塞矩陣在凸集的內部是正定的。

凸函數的任何極小值也是最小值。嚴格凸函數最多有一個最小值。

對於凸函數f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函數不一定是凸函數；這樣的函數稱為擬凸函數。

延森不等式對於每一個凸函數f都成立。如果X是一個隨機變量，在f的定義域內取值，那麼（在這裏，E表示數學期望。）

凸函數還有一個重要的性質：對於凸函數來説，局部最小值就是全局最小值。

綜上所述，凸函數的主要性質有：

1.若f為定義在凸集S上的凸函數，則對任意實數β≥0，函數βf也是定義在S上的凸函數;

2.若f₁和f₂為定義在凸集S上的兩個凸函數，則其和f=f₁+f₂仍為定義在S上的凸函數;

3.若f_i(i=1，2，…，m)為定義在凸集S上的凸函數，則對任意實數β_i≥0，函數β_if_i也是定義在S上的凸函數;

4.若f為定義在凸集S上的凸函數，則對每一實數c，水平集S_c={x|x∈S，f(x)≤c}是凸集. ^[4] 

設f（x）在區間I上有定義,f（x）在區間I稱為是凸函數當且僅當:

，

有

式中，“≤”改成“<”，則是嚴格凸函數的定義 ^[5] 

如果f和g是凸函數，那麼m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g（x）也是凸函數。

如果f和g是凸函數，且g遞增，那麼h(x) = g(f（x））是凸函數。

凸性在仿射映射下不變：也就是説，如果f(x）是凸函數，那麼g(y) = f(Ay + b）也是凸函數。

1、如果f和g是凸函數，那麼m(x)=max{f(x)，g(x)}和h(x)=f(x)+g(x)也是凸函數。

2、如果f和g是凸函數，且g遞增，那麼h(x)=f(g(x))是凸函數。

3、凸性在仿射映射下不變：也就是説，如果f（x）是凸函數，那麼g(y)=f(Ay+b)也是凸函數

函數f(x) = x²處處有，因此f是一個（嚴格的）凸函數。

絕對值函數f(x) = | x | 是凸函數，雖然它在點x = 0沒有導數。

當1 ≤ p時，函數f(x) = | x | p是凸函數。

定義域為[0,1]的函數f，定義為f(0)=f(1)=1，當0函數x3的二階導數為6x，因此它在x ≥ 0的集合上是凸函數，在x ≤ 0的集合上是凹函數。

每一個在內取值的線性變換都是凸函數，但不是嚴格凸函數，因為如果f是線性函數，那麼f(a + b) = f(a) + f（b）。如果我們把“凸”換為“凹”，那麼該命題也成立。

每一個在內取值的仿射變換，也就是説，每一個形如f(x) = aTx + b的函數，既是凸函數又是凹函數。

每一個範數都是凸函數，這是由於三角不等式。

如果f是凸函數，那麼當t > 0時，g(x,t) = tf(x / t）是凸函數。

單調遞增但非凸的函數包括和g(x) = log（x）。

非單調遞增的凸函數包括h(x) = x2和k(x) = − x。

函數f(x) = 1/x2，f(0)=+∞，在區間（0,+∞）內是凸函數，在區間（-∞，0）內也是凸函數，但是在區間（-∞，+∞）內不是凸函數，這是由於x = 0處的奇點。

某些教材的凸函數定義與此定義相反，即凸函數與凹函數相反。如北京大學版本和中山大學的數學教材。