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擬凸函數
鎖定
- 中文名
- 擬凸函數
- 外文名
- Quasi-convex Function
- 屬 性
- 凸集上的一類函數
- 所屬學科
- 數學
- 相關概念
- 擬凸函數、非空凸集等
擬凸函數基本概念
擬凸函數定義
函數
稱為擬凸函數(或者單峯函數)，如果其定義域及所有下水平集
定義2 設
其定義域
，若對於任意
，
都有
若一
是擬凸(嚴格擬凸)，則稱
是擬凹(嚴格擬凹)的。
定義3 設
其定義域
，若對於任意的
，都有
則稱
在Z上是強擬凸的。
圖1 擬凸函數
圖1中R上的一個擬凸函數。對於任意
，
下水平集
是凸集，即某區間。下水平集
是區間[a，b]。下水平集
是區間
。
凸函數具有凸的下水平集，所以也是擬凸函數。但是擬凸函數不一定是凸函數。圖1所示的簡單例子即説明了這一點。
擬凸函數舉例説明
例1 R上的一些例子：
對數函數：定義在
上的函數
是擬凸函數(也是擬凹函數，因此是擬線性函數)。上取整函數:函數
是擬凸函數(亦為擬凹函數)。
從上述例子可以看出，擬凸函數可能是凹函數，甚至有可能是不連續的。下面給出
上的一些例子。
例2向量的長度。定義
的長度為非零分量的下標的最大值，即
擬凸函數基本性質
在擬凸條件下，凸函數的很多性質仍然成立，或者可以找到類似性質。例如，存在一種變化的Jensen不等式來描述擬凸函數：函數f是擬凸函數的充要條件是，
是凸集，且對於任意
及
，有
圖2 擬凸函數的例子
和凸性類似，擬凸性可以由函數
在直線上的性質刻畫：函數
是擬凸的充要條件是它在和其定義域相交的任意直線上是擬凸函數。特別地，可以通過將一個函數限制在任意直線上，通過考察所得到的函數在R上的擬凸性來驗證原函數的擬凸性。
[3]
R上的擬凸函數
對R上的擬凸函數，我們給出一個簡單的刻畫。由於考慮一般的函數較為繁瑣，所以我們考慮連續函數。連續函數
是擬凸的，當且僅當下述條件至少有一個成立。
1.函數
是非減的；
2.函數
是非增的；
圖3 R上的擬凸函數
擬凸函數相關定理
擬凸函數性質1
但是嚴格擬凸函數不一定是擬凸函數，例如：
擬凸函數定理1
與凸函數相反，擬凸函數在它的定義域內部可以不連續，而且並非每個局部極小必是一個整體極小。
擬凸函數定理2
設
在凸集
是擬凸函數，若
是f的一個嚴格局部極小值點，則
也是f在Z上的嚴格整體極小值。
擬凸函數定理3
擬凸函數定理4
擬凸函數定理5
設f在正則凸集
上，對每個
有
