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嚴格擬凸函數

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嚴格擬凸函數(strictly quasi-convex function)是凸集上的一類函數。設S是線性空間中的非空凸集，f是S上的實值函數。若對任何實數α∈(0，1)和任意的x1，x2∈S，且f(x1)≠f(x2)，恆有f(αx1+(1-α)x2)1)，f(x2)}，則稱f是S上的嚴格擬凸函數，或f在S上是嚴格擬凸的 [1]  。
中文名
嚴格擬凸函數
外文名
strictly quasi-convex function
所屬問題
運籌學(非線性規劃)
相關概念
凸函數、擬凸函數等

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 相關性質

嚴格擬凸函數定義

下面一系列定義中的函數
都是定義在n維歐氏空間
中的某一凸集合
上的n個變量的實值函數。
定義1 若對於任意的
，以及數
，有
則稱
是
上的嚴格凸函數。
定義2 若對於任意的
，以及數
，有
則稱
是
上的凸函數。
定義3若對於任意的
以及數
，有
則稱
是
上的嚴格擬凸函數。
定義4若對於任意的
，及數
，有
則稱
是
上的擬凸函數。
定義5 若對於任意的
，以及數
，有
則稱
是
上的下單峯函數(或稱直線單峯函數)。
當
時，下單峯函數的定義與優選法中單變量的單峯函數的定義是一致的。因此，定義5是單變量單峯函數的形式上的擴充 [2]  。
定義6 設
是一個非空凸集，並設
。如果對每對
，都有
則
稱為強擬凸。若
為強擬凸，則
便稱為一個強擬凹函數。

嚴格擬凸函數相關性質

不難看出定義中所述的函數類之間有如下的關係：
嚴格凸函數
凸函數
嚴格擬凸函數；
嚴格凸函數
下單峯函數；
下單峯函數
嚴格擬凸函數。
(“
”的意思是：例如“嚴格凸函數
凸函數”是表示若
是
上的嚴格凸函數，則
也是
上的凸函數)。當
在
上是下半連續函數時，可以證明下面的關係成立：
嚴格擬凸函數
擬凸函數；
不難證明，當
是
上的嚴格擬凸函數時，局部極小也是整體極小( 最優解)；當
是
上的下單峯函數時，其最優解( 若存在) 唯一。
不難證明，
是上面定義1至定義5中的某一函數類中n個變量的函數的充分必要條件是：對任意的
，單變量函數
是
上的同類型的函數類中的單變量
的函數 [2]  。
下面這條定理指出：在整個凸集上，嚴格擬凸函數的局部極小值也是一個總體極小值。但是從圖1(a)中可以看到，擬凸函數就沒有這種特性。
圖1 嚴格擬凸函數和嚴格擬凹函數 圖1 嚴格擬凸函數和嚴格擬凹函數
(a)嚴格擬凸；(b)嚴格擬凸；(c)嚴格擬凹
定理1 設
為嚴格擬凸。考慮下述規劃問題(P)：
這裏
一個非空凸集。如果
是一個局部最優解，則
也是一個總體最優解 [3]  。
引理2設
是一個非空凸集，並設
為嚴格擬凸和下半連續，則
是一個擬凸函數。
下面説法均成立：
①每個嚴格凸函數都是強擬凸函數。
②每個強擬凸函數都是嚴格擬凸函數。
⑨每個強擬凸函數都是擬凸函數，即使沒有半連續的假定也是如此。
定理3 設
為強擬凸函數。考慮下面的規劃問題(P)：
這裏
是一個非空凸集。若
是一個局部最優解，則
便是唯一的總體最優解 [3]  。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第五卷：中國科學技術出版社，2002
  • 2.    佩捷，馮寶琦．形形色色的不動點定理：從一道28屆IMO試題談起：哈爾濱工業大學出版社，2015.01
  • 3.    潘介人．數理經濟：上海交通大學出版社，1989年05月第1版