強擬凸函數

若對任意的x,y∈ C,x≠ y，及任意λ∈ (0,1)，有f(λx+(1-λ)y)

若對任意的x,y∈ C，x≠ y，及任意λ∈ (0,1)，有

則稱f(x)為C上的強擬凸函數。

我們知道，在數學規劃的理論及算法中，函數的凸性只是一個充分條件，而不是必要條件。如何推廣函數的凸性概念，使得凸規則的大多數結果能推廣到非凸規劃，已構成了數學規劃研究領域的當前趨勢之一。擬凸函數是一類非常重要的廣義凸函數，已有大量文獻對此作了研究。討論擬凸函數、嚴格擬凸函數及強擬凸函數之間的關係，得到新結果，使得某些結論成為直接推廣。

直觀的看，函數f（x）是擬凸的表示曲線ACB之間的點都低於B點。顯然，如果函數f（x）是凸的，則圖形如一個正放的鍋，弦在曲線上面，而弦上的點本身滿足上述性質，因而一定是擬凸的。代數的證明只要利用兩者的定義即得。但反向則不一定成立，如同是單調的函數的凹函數、線性函數、凸函數的圖形中，同樣滿足擬凸函數的定義，即擬凸函數可以是凹函數，也可以是凸函數。

與擬凹函數相對，擬凸函數也有一個等價定義：如果函數f（x）是擬凸的，當且僅當集合S1={x|f（x）≤c}是凸集，我們稱集合S1為函數f（x）的下等值集（Lower Contour Set）。

若對任意的x,y∈ C,x≠ y，及任意λ∈ (0,1)，有

則稱f(x)為C上的擬凸函數。 ^[1] 

若對任意的x,y∈ C,x≠ y，f(x)≠f(y)，及任意λ∈ (0,1)，有

則稱f(x)為C上的嚴格擬凸函數。

設f(x)為C上的下半連續函數，則f(x)為C上的強擬凸函數的充要條件是：

對任意的x,y∈ C，x= y，存在λ∈ (0,1)(λ依賴於x,y)，使得

設f(x)為C上的下半連續函數，則f(x)為C上的強擬凸函數的充要條件是：

對任意的x,y∈ C，x≠ y，存在λ∈ (0,1)(λ依賴於x,y)，使得

證明：必要性顯然成立。下面證明充分性，用反證法。

若存在x¹,x²∈ C，x¹≠ x²，及T₀∈(0,1)，使得

由假設條件及引理知f(x)為C上的擬凸函數，故有

故

不失一般性，不妨設f(x²)≥ f(x¹)

若f(x²)> f(x¹)，令

，則

由假設知，存在λ₀∈ (0,1)，使得

則

顯然

，矛盾!證畢。 ^[2] 

若f(x)為C上的嚴格擬凸函數，若對任意的x,y∈ C,x≠ y，x≠y，f(x)=f(y)，存在λ∈ (0,1)，有

則f(x)為C上的強擬凸函數。