單峯函數

設D表示一個實數集合(閉區間，開區間，區間的並，集合

等)，設

是定義在D上的實值函數，如果存在

，使得對D中任何冀

，

，當

時，有 ^[1] 

當

時，

那麼就説

是定義在D上的單峯函數(圖1)，換句話説，如果

在

左邊遞增，在

右邊遞減，那麼

就是D上的單峯函數，

就是

在D上的最大值(峯值)

稱為峯值點。 ^[1] 

類似．如果存在

，使得D中任何

，

，當

時，有

當

時，有

那麼就説

是D上的單谷函數，

稱為谷值點(圖2)。

例1 二次函數

當

時，為單峯函數，當

時，為單谷函數。 ^[1] 

例2 函數

在

為定數)上為單峯函數，而在

（

均為定數）上為單谷函數。

例3 使用單因素優選法的經驗表明，單因素實驗指標函數大多為單峯(谷)函數。

例4 函數

，

，

，

在整個定義域上不是單峯函數，也不是單谷函數。

由定義可知，單峯函數在定義域上有最大值(峯值)，單谷函數有最小值(谷值)，這就確定了這函數類在處理極值問題中的地位。

由定義可知，在閉區間或有限集合上的單調函數既為單峯函數，又為單谷函數，這樣，就容易證明，對集合D，如

是D上單峯函數，

，則

是D'上的單峯函數，對單谷函數也一樣，歸納起來，單峯(谷)函數有如下性質。 ^[1] 

性質1 單峯函數在其定義域的任何子集上，仍為單峯函數，對單谷函數也一樣。

性質2 若

為單峯(谷)函數，那麼

(

、

為常數)，當

>0時，仍為單峯(谷)函數，當

<0時，為單谷(峯)函數，且峯(谷)值點不變。

特別，

=0，

=-1的情況告訴我們，如

為單峯(谷)函數，則一

為單谷(峯)函數，因此，在論證有關性質時，只考慮單峯函數就行了。

性質3 如

為閉區間D上的凸函數(凹函數)，那麼

必為D上的單谷(峯)函數。

證明：如

為D上的單調函數，則

為單谷或單峯函數，如不然，則

在D上有的部分遞減，有的部分遞增，因此有局部極小(大)點

，該局部極小(大)點也是全局極小(大)點，因此，

在

左邊是減函數，而在

右邊為增函數，因此，

在D上是單谷(峯)函數，但是反過來不然，這就説明了單峯單谷函數同凸、凹函數的類屬關係。 ^[1] 

我們知道，單峯函數的概念首先是為了解決優選法理論問題的需要而提出來的，而優選法的本質在於用實驗求指標函數(無需知道它的表達式)的極值，而採用的“試一比一去”的程序，就是在實驗區間(即指標函數

的定義域)[a，b]內先取兩點(0.618法，分數法，各有特定取法)

和

，(

)，通過實驗比較

和

的大小，如果

，則把

去掉，留下

，其中已有一個試過的點

，再按特定方法取

，通過實驗比較

與

的大小，…；如果

，則去掉

，留下

其中包含了已試點

，按特定方法取

，比較

與

的大小，…總之，每次去掉壞點(指

較小的點)以外的那部分區間。 ^[1] 

問題在於這種試驗程序能否保證試驗點序列收斂於最優點?我們知道，一個單峯函數

，通過上述程序每次去掉一部分區間以後，性質1保證了在剩下區間上

仍是單峯函數，程序可以繼續進行，但是，

的峯值點是不是總留在剩下的區間中呢?下面的定理肯定回答了這個問題。

定理 設

為[a，b]上的單峯函數，

是它的峯值點，設

，

(

<

)是[a，b]上任意兩點，那麼，

若

，則

在

上；

若

，則

在

上。 ^[1]