緩增廣義函數

緩增廣義函數(tempered distribution)是施瓦茲空間S上的連續線性泛函。這樣的廣義函數全體在適當的拓撲下，記為S′。S′的重要性在於可以定義傅里葉變換。設u∈S′，定義其傅里葉變換：

常見的函數(例如所有1≤p≤+∞的L函數)幾乎都是緩增廣義函數，但也存在不是函數的緩增廣義函數(例如δ函數)。這樣一來，大大地擴大了傅里葉變換應用的範圍，發揮了傅里葉變換作為研究函數工具的功效。

施瓦茲空間是一類光滑函數空間。設函數f在R上無窮次可微且滿足下述條件：對於任何正整數m，α=(α₁，α₂，…，α_n)∈Zⁿ₊，

式中：

這類函數引入適當的拓撲後，就成為完備的線性距離空間，稱為施瓦茲空間，記為S。它有廣泛的用途。顯然，有緊支集的無窮次可微函數類C^∞₀包含在S內，即C^∞₀⊂S。

線性泛函即線性算子。線性空間之間保持線性運算的映射。設X，Y同是數域K上的線性空間，D是X的線性子空間，T是從D到Y中的映射.如果對每個x，y∈D，有T(x+y)=Tx+Ty，則稱T是可加算子；如果對每個x∈D和實數α有T(αx)=αTx，則稱T是實齊次的，如果對一切α∈K這個關係式都成立，則稱T是齊次算子。如果T既是可加的又是齊次的，則稱T是線性算子或線性映射，D稱為T的定義域，常記為D(T)。線性子空間R(T)={Tx|x∈D}稱為T的值域(或像域)。當D(T)=X時，稱T是X到Y的線性算子。當R(T)=Y時，稱T為X到Y上的或滿值域的。特別地，當Y=K(或Y是一維線性空間)時，T稱為D上的線性泛函。線性泛函是線性算子的特殊情形。 ^[1] 

集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T；

2.T中任意兩個成員的交屬於T；

3.T中任意多個成員的並屬於T；

則T稱為X上的一個拓撲.具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。

設T₁與T₂為集合X上的兩個拓撲。若有關係T₁T₂，則稱T₁粗於T₂，或T₂細於T₁。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的.在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。 ^[1]