彼得-外爾定理

彼得-外爾定理指的是經典三角多項式可一致逼近連續函數的定理在緊李羣上的一種推廣。

在經典的傅里葉級數理論中，一個熟知的結果是，任一以2π為週期的連續函數可用三角多項式來一致逼近，這一經典結果在緊李羣上的推廣，即是著名的彼得-外爾定理。

設G是一個緊李羣，則G的不可約表示必是有限維的，且G的有限維表示必等價於一個酉表示。所以，在表示空間中取一組適當的規範正交基時，G的不可約表示將G的元映成酉矩陣。設{U_λ|λ∈Ĝ}是緊李羣G的不可約酉表示完全組，則U_λ(x)的每個矩陣係數定義了G上的實解析函數。相應於L²(G)的內積，U_λ(x)的不同矩陣係數彼此正交；當λ₁,λ₂∈Ĝ且λ₁≠λ₂時，

與

的不同矩陣係數也彼此正交。這時彼得-外爾定理可敍述為：緊李羣G的不可約酉表示完全組{U_λ|λ∈Ĝ}的矩陣係數全體是L²(G)的完備正交函數系，G上的任一連續函數可用該正交系中函數的有限線性組合來一致逼近。

上述緊李羣G的完備正交函數系在緊李羣上調和分析中的地位，等同於{e^inx|n=0,±1,...}在經典傅里葉分析中的地位。 ^[1] 

(compact Lie group)

緊李羣是拓撲結構為緊的李羣。

設G為李羣，作為流形它有拓撲結構，若這個拓撲為緊拓撲，則G稱為緊李羣。

緊李羣只有有限多個連通分支，緊李羣的李代數為緊李代數，且連通李羣緊當且僅當它的李代數為緊李代數。復緊李羣必可交換，它就是復環面。