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一致逼近
鎖定
一致逼近是無窮級數的基本概念之一,指一類均勻的逼近。
- 中文名
- 一致逼近
- 外文名
- uniform approximation
- 所屬領域
- 數理科學
- 重 點
- 最佳一致逼近多項式
目錄
- 1 定義
- 2 最佳一致逼近
- ▪ 最佳一致逼近多項式
- ▪ 最佳一致逼近多項式的存在性和唯一性
一致逼近定義
定義一
作為fi與Φ的離差之測度,就稱這種逼近是一致逼近,上式中Ω為在其內進行逼近的數集.
定義二
的意義下定義兩個函數的距離:
② 若一個函數序列
在如上定義的距離的意義下滿足
則稱fn(x)在[a,b]上一致收斂於f(x).
通常也稱在度量||·||
下的逼近問題為一致逼近問題.
一致逼近最佳一致逼近
一致逼近最佳一致逼近多項式
為Pn(X)對於f(x)的偏差,稱
為Pn(x)對f(x)的最小偏差,或稱最佳逼近.
定義 設f(x)∈C[a,b],若∃
∈Hn使得
則稱
是f(x)在[a,b]上的最佳一致逼近多項式或最小偏差逼近多項式,簡稱最佳逼近多項式.
一致逼近最佳一致逼近多項式的存在性和唯一性
定理1 (Borel,1995)對於任何f(x)∈C[a,b],在Hn中存在多項式
,使得
定理2 設f(x)∈C[a,b],p(x)∈Hn,則p(x)為f(x)的最佳一致逼近多項式的充分必要條件是,f(x)一p(x)在[a,b]上存在一個至少由n+2個點組成的交錯點組。
實際求出最佳一致逼近多項式p(x)往往比較困難。一般利用下述定理求取最佳一致逼近多項式。