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最佳一致逼近多項式
鎖定
設f(x)∈C[a,b]，若存在P*n屬於Hn，使得△(f,P*n)=En，則稱P*n是f(x)在[a,b]上的最佳一致逼近多項式。最佳一致逼近多項式是一種用多項式去逼近函數的方法，通常可利用切比雪夫定理進行求解。
- 中文名
- 最佳一致逼近多項式
- 外文名
- polynomials of best uni-form approximation
- 學 科
- 數學
- 求解方法
- 切比雪夫定理
- 性 質
- 存在性；唯一性
- 領 域
- 數值分析
最佳一致逼近多項式基本概念
最佳一致逼近多項式偏差
若
，
，則稱
為
與
在[a,b]上的偏差。
注：
，
的全體組成一個集合，記作：
，它有下界0。
最佳一致逼近多項式最小偏差
若記集合
的下確界為：
最佳一致逼近多項式偏差點
設
，
，若
上有
，則稱
是
的偏差點。
若
，則稱
是
的“正”的偏差點。
若
，則稱
是
的“負”的偏差點。
注：由
在
上的連續性可知，偏差點一定存在。
最佳一致逼近多項式交錯點組
若函數
在其定義域的某一區間
上存在n個點
，使得：
則稱點集
為函數
在區間
上的一個交錯點組，點
為交錯點。
最佳一致逼近多項式多項式
定理1：若
，則總存在
，使得
定理2：設
是區間
上的連續函數，
是
的
次最佳一致逼近多項式，則
必須同時存在正負偏差點。
最佳一致逼近多項式
定理3：
是
的最佳一致逼近多項式的充要條件是
在
上至少存在n+2個輪流為“正”、“負”的偏差點，即有n+2個
，使
，
，這樣的點稱為Chebyshev交錯點組。
推論1：如果
，則在
中存在唯一的最佳一致逼近多項式
推論2：如果
，則其最佳一致逼近多項式
就是
的一個拉格朗日插值多項式。
最佳一致逼近多項式多項式
由定理可知：
至少存在3個交錯點，
因為
是
的一次最佳一致逼近多項式，所以
因為
，所以
單調，所以
在
只有一個零點，記作
，即
則有：
幾何意義如圖1：
圖1 幾何意義
最佳一致逼近多項式例題
解：
函數最佳一致逼近多項式
得：
即：
解得：
故
所求一次最佳逼近多項式為
故
誤差限為：
