樣條函數

給定k個點t_i，稱為節點（knot），分佈在一個區間[a,b]滿足

一個參數曲線

稱為n次樣條，如果

並且在限制到每個子區間時，

換句話説，在每個子區間或者説節點長度（knot span）

S和一個n次多項式相同。

S（t_i） 稱為節點值而（t_i,S（t_i））稱為內部控制點（internal control point）. (t₀,...,t_k-1)稱為節點向量。如果節點等距分佈在區間[a,b]上，我們稱樣條均勻（uniform），否則為非均勻（non-uniform）。 ^[1] 

最簡單的樣條是一次的，它也叫做線性樣條，或者多邊形。一般的樣條是自然的三次樣條。自然定義為樣條多項式的二階導數在插值區域的兩端相等。

在區間

，這使得樣條在插值區間外為直線而不影響光滑程度。 ^[1] 

對於一個給定的節點向量，所有n次樣條構成一個向量空間，這個空間的一個基是n次B樣條基。 ^[1] 

在計算機被使用之前，數字演算用手工完成。雖然分段定義的象signum函數或階梯函數這樣的函數也被用到，一般人更喜歡多項式因為它們比較容易算。隨着計算機的發展，樣條變得越來越重要。它們一開始是作為多項式在插值中的替代品，後來又作為在計算機圖形學中構造光滑和可變形狀的工具。

spline function是一類分段（片）光滑、並且在各段交接處也有一定光滑性的函數。簡稱樣條。樣條一詞來源於工程繪圖人員為了將一些指定點連接成一條光順曲線所使用的工具，即富有彈性的細木條或薄鋼條。由這樣的樣條形成的曲線在連接點處具有連續的坡度與曲率。分段低次多項式、在分段處具有一定光滑性的函數插值就是模擬以上原理髮展起來的，它克服了高次多項式插值可能出現的振盪現象，具有較好的數值穩定性和收斂性，由這種插值過程產生的函數就是多項式樣條函數。

樣條函數的研究始於20世紀中葉，到了60年代它與計算機輔助設計相結合，在外形設計方面得到成功的應用。樣條理論已成為函數逼近的有力工具。它的應用範圍也在不斷擴大，不僅在數據處理、數值微分、數值積分、微分方程和積分方程數值解等數學領域有廣泛的應用，而且與最優控制、變分問題、統計學、計算幾何與泛函分析等學科均有密切的聯繫。 ^[2]