-
多項式插值
鎖定
- 中文名
- 多項式插值
- 外文名
- polynomial interopolation
- 類 型
- 插值技術
- 方 法
- 直接法;拉格朗日法；牛頓法
- 用 來
- 曲線擬合、迴歸
- 應用領域
- 人工智能
多項式插值定義
給定n+1個點
（稱為插值點），所謂多項式插值就是找到一個多項式（稱為插值多項式）
多項式插值唯一性和誤差
定理一：
給定n+1個點
,若
兩兩不同，則存在唯一一個次數不超過n的多項式
，使得
成立。
證明：利用範德蒙德矩陣和代數學基本定理即得。
當
的值來自某個函數
，且f(x)具有n+1階連續導數時，下面的定理可以用來計算多項式插值的（截斷）誤差。
定理二：
給定n+1個點
,其中
，進一步假設函數f(x)具有n+1階連續導數，則插值多項式P(x)的誤差R(x)為
多項式插值計算方法
（注意，根據定理一，這三種方法得到的插值多項式在理論上説應該是一致的，而且誤差也相同。）
直接法
根據定理一，假設插值多項式為
圖示
通過求解這個線性方程組，即得到插值多項式。
優點：直接，性質一目瞭然。
拉格朗日多項式插值
拉格朗日基函數
的構造如下：
由基函數的性質，當
時，
，即
為
的零點，可以假設
從而得到
定理三：令
為全體次數不超過n的多項式構成的集合，則
是線性空間
的一組基。
Matlab 實現
function [y,Lb] = LagrangeInterpolation(X,Y,x)
% 拉格朗日多項式插值函數
% 注意：插值點的個數為n，差值多項式的次數為n-1
%
% 輸入參數
% X,Y: 插值點座標
% x: 求值點
%
% 輸出參數
% y: 拉格朗日插值多項式在x點的值
% Lb: 拉格朗日基函數在x點的值
if length(X) ~= length(Y) error('X和Y的長度不相等');
endn = length(X);
%獲取插值點的個數
%初始化
y = 0; Lb = ones(1,n);
for i = 1:n
for j = 1:n %計算拉格朗日基函數在x點的值 if j ~= i Lb(i) = Lb(i) * (x-X(j))/(X(i)-X(j));
end end y = y + Lb(i)*Y(i);
%計算拉格朗日插值多項式的值
end
end均差與牛頓多項式插值
牛頓多項式插值是基於均差的計算。首先定義均差如下：
用遞歸的方式，我們定義二階均差為
根據均差的定義，構造均差表如下：
圖示
如果將x也看作一個點，由均差的定義可以得到
圖示
其中，
稱為牛頓插值多項式。
由定理一和定理二得到均差和導數的關係如下：
其中，
Matlab實現
function [y,Nt]=NewtonInterpolation(X,Y,x)
% 牛頓多項式插值函數
% 注意：插值點的個數為n，差值多項式的次數為n-1
%
% 輸入參數
% X,Y: 插值點座標
% x: 求值點
%
% 輸出參數% y：牛頓差值多項式在x點的值
% Nt：均差表
if length(X) ~= length(Y) error('X和Y的長度不相等');
endn = length(X); Nt = zeros(n);
%初始化均差表，按列存放各階均差
Nt(1,1) = Y(1);
%0階均差
for i = 2:n
%按行計算均差表 Nt(i,1) = Y(i); %0階均差 for j = 2:i Nt(i,j) = (Nt(i,j-1)-Nt(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));
end
end
%計算牛頓插值多項式在x點上的值w = 1; y = Nt(1,1) * w;
for i = 2 : n w = w * (x - X(i-1)); y = y + Nt(i,i) * w;
end
end
多項式插值比較
拉格朗日多項式插值的計算量大於牛頓多項式插值的計算量。
特別地，當新增一個插值點時，拉格朗日插值需要重新計算全部的基函數，而牛頓插值只需計算均差表中新的一行的值即可。
- 詞條統計
-
- 瀏覽次數：次
- 編輯次數：7次歷史版本
- 最近更新： 四海皆海OL