同义词内插法（插值法）一般指多项式插值
- 中文名
- 多项式插值
- 外文名
- polynomial interopolation
- 类 型
- 插值技术
- 方 法
- 直接法;拉格朗日法；牛顿法
- 用 来
- 曲线拟合、回归
- 应用领域
- 人工智能
定义
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在实际应用中，这些插值点可能来自某次实验测量所得的数据，也可能来自某个复杂函数
唯一性和误差
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定理一：
给定n+1个点
证明：利用范德蒙德矩阵和代数学基本定理即得。
当
定理二：
给定n+1个点
计算方法
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（注意，根据定理一，这三种方法得到的插值多项式在理论上说应该是一致的，而且误差也相同。）
直接法
根据定理一，假设插值多项式为
图示通过求解这个线性方程组，即得到插值多项式。
优点：直接，性质一目了然。
拉格朗日多项式插值
拉格朗日基函数
由基函数的性质，当
从而得到
定理三：令
Matlab 实现
function [y,Lb] = LagrangeInterpolation(X,Y,x)
% 拉格朗日多项式插值函数
% 注意：插值点的个数为n，差值多项式的次数为n-1
%
% 输入参数
% X,Y: 插值点坐标
% x: 求值点
%
% 输出参数
% y: 拉格朗日插值多项式在x点的值
% Lb: 拉格朗日基函数在x点的值
if length(X) ~= length(Y) error('X和Y的长度不相等');
endn = length(X);
%获取插值点的个数
%初始化
y = 0; Lb = ones(1,n);
for i = 1:n
for j = 1:n %计算拉格朗日基函数在x点的值 if j ~= i Lb(i) = Lb(i) * (x-X(j))/(X(i)-X(j));
end end y = y + Lb(i)*Y(i);
%计算拉格朗日插值多项式的值
end
end
均差与牛顿多项式插值
牛顿多项式插值是基于均差的计算。首先定义均差如下：
用递归的方式，我们定义二阶均差为
根据均差的定义，构造均差表如下：
图示如果将x也看作一个点，由均差的定义可以得到
图示其中，
称为牛顿插值多项式。
由定理一和定理二得到均差和导数的关系如下：
其中，
Matlab实现
function [y,Nt]=NewtonInterpolation(X,Y,x)
% 牛顿多项式插值函数
% 注意：插值点的个数为n，差值多项式的次数为n-1
%
% 输入参数
% X,Y: 插值点坐标
% x: 求值点
%
% 输出参数% y：牛顿差值多项式在x点的值
% Nt：均差表
if length(X) ~= length(Y) error('X和Y的长度不相等');
endn = length(X); Nt = zeros(n);
%初始化均差表，按列存放各阶均差
Nt(1,1) = Y(1);
%0阶均差
for i = 2:n
%按行计算均差表 Nt(i,1) = Y(i); %0阶均差 for j = 2:i Nt(i,j) = (Nt(i,j-1)-Nt(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));
end
end
%计算牛顿插值多项式在x点上的值w = 1; y = Nt(1,1) * w;
for i = 2 : n w = w * (x - X(i-1)); y = y + Nt(i,i) * w;
end
end
比较
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拉格朗日多项式插值的计算量大于牛顿多项式插值的计算量。
