複變函數與積分變換

本書根據教育部高等院校複變函數與積分變換課程的基本要求，依據工科數學《複變函數與積分變換教學大綱》，並結合本學科的發展趨勢，在積累多年教學實踐的基礎上編寫而成.內容選取以“必需、夠用”為度，嚴密性次之，旨在培養工科學生的數學素養，提高應用數學工具解決實際問題的能力. 全書共分8章，包括複數與複變函數、解析函數、複變函數的積分、級數、留數理論及其應用、共形映射、Fourier變換、Laplace變換等. 本書適合高等院校工科各專業，尤其是自動控制、通信、電子信息、測控、機械工程、材料成型等專業作為教材，也可供工程技術人員閲讀參考.

複變函數與積分變換是運用複變函數的理論知識解決微分方程和積分方程等實際問題的一門課程.在工科的教育教學體系中，本課程屬於基礎課程，在培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和科學計算能力等方面起着重要的作用.從歷史上看，複變函數理論一直伴隨着科學技術的發展，從實際需要中提煉數學理論並進行研究，並反過來促進科學技術的發展.通過學習大家會發現，複變函數除了其嚴謹且優美的理論體系外，在應用方面尤其有着獨到的作用，它既能簡化計算，又能體現明確的物理意義，在許多領域有廣泛應用，如電氣工程、通信與控制、信號分析與圖像處理、機械系統、流體力學、地質勘探與地震預報等工程技術領域.通過本課程的學習，不僅可以掌握複變函數與積分變換的基礎理論及工程技術中的常用數學方法，同時還為後續有關課程的學習奠定了必要的數學基礎.

本書基於有限的課時，對複數與複變函數、解析函數、複變函數的積分、級數、留數理論及其應用、共形映射、Fourier變換和Laplace變換等內容作了較為系統的介紹.在概念闡述上力求做到深入淺出，突出基本結論和方法的運用，在知識體系完整性的基礎上，避免了一些太過專業的推導過程，儘量做到數學過程簡單易懂，結論形式易於運用，形成了自己的特色.

在編寫過程中突出了以下幾個特點：

(1) 注重強調理論的產生背景和其中藴含的思想方法，注重理論聯繫實際，數學過程力求精練.在不影響內容完整性和系統性的基礎上，去掉了傳統課本中的一些較難而又與應用沒有緊密關聯的知識點，使學生從枯燥的學習過程中擺脱出來，輕鬆入門.

(2) 對基本概念的引入儘可能聯繫實際，突出物理意義； 基本結論的推導過程深入淺出、循序漸進； 基本方法的闡述具有啓發性，使學生能夠舉一反三，融會貫通.

(3) 例題和習題豐富，有利於學生掌握所學內容，提高分析問題和解決問題的能力.

本書第1、3、5章由姚衞編寫，第2、4、6章由楊賀菊編寫，第7章由彭繼琴編寫，第8章由於向東編寫.沈衝對部分章節和插圖進行了完善處理.全書由姚衞最後統稿.本書的編寫得到清華大學出版社的大力支持，河北科技大學理學院數學系全體任課教師也給予了很多幫助和指導，在此一併表示衷心的感謝.

由於編者水平有限，錯漏在所難免，懇請專家、同行和讀者批評指正.

2014年5月

第1章複數與複變函數

1.1複數及其代數運算

1.2複數的幾何表示

1.3複數的乘冪與方根

1.4平面點集與區域

1.5複變函數及其連續性

習題1

第2章解析函數

2.1複變函數的導數與微分

2.2解析函數的概念和性質

2.3復變量初等函數

習題2

第3章複變函數的積分

3.1複變函數的積分及其性質

3.2柯西積分定理及其推廣

3.3柯西積分公式和高階導數公式

3.4解析函數與調和函數

習題3

第4章級數

4.1複數項級數

4.2冪級數

4.3泰勒（Taylor）級數

4.4洛朗（Laurent）展式

習題4

第5章留數理論及其應用

5.1孤立奇點

5.2留數

5.3留數在定積分計算中的應用

習題5

第6章共形映射

6.1共形映射的概念

6.2分式線性映射

6.3一些初等函數所構成的共形映射

習題6

第7章Fourier變換

7.1Fourier變換的概念

7.2單位脈衝函數及其Fourier變換

7.3Fourier變換的性質

7.4卷積與相關函數

7.5Fourier變換的應用

習題7

第8章Laplace變換

8.1Laplace變換的概念

8.2Laplace變換的性質

8.3Laplace逆變換

8.4卷積

8.5Laplace變換的應用

習題8

部分習題答案

附錄AFourier變換簡表

附錄BLaplace變換簡表

參考文獻 ^[1]