數值分析

本書從實用和簡明的角度介紹了數值分析的基本概念和方法，並對誤差估計、方法的收斂性和穩定性以及優缺點等作了適當分析.全書共分8章，內容包括：緒論，插值法，曲線擬合與函數逼近，線性方程組的數值解法，數值積分與數值微分，非線性方程與方程組的數值解法，常微分方程初值問題的數值解法，矩陣特徵值問題的數值方法.附錄中給出了MATLAB簡介.書中配有典型例題、習題和實驗題，書後給出了部分習題答案.

本書可作為理工科各專業研究生和高年級本科生的教材或教學參考書，也可供從事科學與工程計算的科技工作者參考.

鄭繼明，男，教授，碩士。主要從事數學分析、小波分析等領域的教育和研究工作。近年來主編出版教材1本，主持或參與完成市級教研、科研項目5項，在國內外期刊上發表20多篇學術論文。

科學與工程計算是伴隨着計算機的出現而迅速發展並獲得廣泛應用的一門新興交叉科學.隨着科學技術的發展，作為科學計算基礎的數值分析越來越顯示出它的重要性.在自然科學和工程應用中，已先後產生了計算力學、計算物理等一系列計算性的分支學科.科學計算利用先進的計算能力認識和解決複雜的科學工程問題，是計算機實現其在高科技領域應用的必不可少的紐帶和工具.計算方法是科學與工程計算的核心，構造好的計算方法與研製高性能計算機及高效率計算軟件同等重要.科學計算、理論和實驗方法一併成為科學技術創新的主要方式.

數值分析也稱計算方法，是理工科大多數專業學生的一門重要基礎課程，主要介紹工程數學問題(數學模型)中數值計算的一些基本概念和方法，基本內容是數值算法的設計與分析.數值分析既有數學的高度抽象性與嚴密科學性，又有與計算機技術結合密切、應用廣泛的特點. ^[1] 

本書是為理工科各專業研究生和高年級本科生編寫的教材，內容包括函數逼近、數值代數、數值微積分和微分方程數值解法等.本書從實用和簡明的角度，着重講清數值算法構造的基本思想與原理，並對誤差估計，方法的收斂性、穩定性、適用範圍以及優缺點等作了適當分析.教材力求通過分析問題求解的基本算法和典型例題，幫助讀者提高解決實際問題的能力，在算法實現方面努力將數值分析理論學習與數學軟件編程結合.每章配有適量的習題和上機實驗題目，書後給出了習題的參考答案，並推薦使用MATLAB軟件完成所列實驗題目，進一步加深對算法的理解.

本書由鄭繼明編寫了第3、4、5章和實驗題目，朱偉編寫了第7、8章，劉勇編寫了第1、6章和附錄，方長傑編寫了第2章和部分習題，鄭繼明完成了全書的統稿.本書在編寫過程中得到了重慶郵電大學理學院部分師生的指導與幫助，也參考了許多相關教材或著作，在此表示衷心的感謝.另外，本書得到了重慶市“三特行動計劃”信息與計算科學專業建設項目和重慶郵電大學文峯骨幹教師培養項目，以及清華大學出版社的大力支持，特別是陳明編輯為教材的順利出版付出了辛勞，在此一併表示感謝.

由於編者水平有限，書中難免出現疏漏甚至錯誤，敬請廣大專家、同行和讀者批評指正.

編者2016年9月

第1章緒論

1.1數值分析的內容與特點

1.2誤差及有效數字

1.2.1誤差的來源

1.2.2絕對誤差、相對誤差和有效數字

1.2.3有效數字

1.2.4計算機機器數系與浮點運算

1.3數值運算的誤差估計

1.4數值計算的注意事項

1.4.1算法的數值穩定性

1.4.2計算中應注意的問題

1.5數值實驗

習題1

第2章插值法

2.1多項式插值

2.1.1多項式插值問題的定義

2.1.2插值多項式的誤差估計

2.1.3插值基函數

2.2拉格朗日多項式插值

2.2.1線性插值

2.2.2拋物線插值

2.2.3拉格朗日插值

2.3牛頓插值

2.3.1差商及其性質

2.3.2牛頓插值公式及其餘項

2.3.3差分形式的牛頓插值公式

2.4埃爾米特插值

2.4.1低次埃爾米特插值多項式

2.4.2一般埃爾米特插值多項式

2.4.3誤差估計

2.5分段低次插值

2.5.1高次多項式插值問題

2.5.2分段低次插值

2.6三次樣條插值

2.6.1樣條插值函數的概念

2.6.2三次樣條插值函數的構造

2.6.3誤差限與收斂性

2.7數值實驗

習題2

第3章曲線擬合與函數逼近

3.1曲線擬合的最小二乘法

3.2最小二乘法的求法

3.2.1多項式擬合

3.2.2可化為線性擬合的非線性擬合

3.2.3正交多項式擬合的最小二乘法

3.3最佳平方逼近

3.3.1正交多項式

3.3.2最佳平方逼近

3.4數值實驗

習題3

第4章線性方程組的數值解法

4．1高斯消去法

4．2選主元素的高斯消去法

4．2．1全主元素消去法

4．2．2列主元素消去法

4．3矩陣的三角分解法

4．3．1直接三角分解法

4．3．2解三對角方程組的追趕法

4．4平方根法與改進平方根法

4．4．1平方根法

4．4．2改進平方根法

4．5向量和矩陣的範數

4．5．1向量的範數

4．5．2矩陣的範數

4．6線性方程組的性態和解的誤差分析

4．7解線性方程組的迭代法

4．7．1雅可比迭代法

4．7．2高斯塞德爾迭代法

4．7．3超鬆弛迭代法

4．8迭代法的收斂性及誤差估計

4．8．1迭代法的一般收斂條件

4．8．2誤差估計

4．9共軛梯度法

4．9．1預備知識

4．9．2共軛梯度法求解過程

4.10數值實驗

習題4

第5章數值積分與數值微分

5．1數值積分公式

5．1．1數值積分的基本概念

5．1．2插值型求積公式

5．2牛頓科特斯公式

5．2．1牛頓科特斯公式的導出

5．2．2牛頓科特斯公式的代數精度

5．2．3牛頓科特斯公式的餘項

5．3復化求積公式

5．3．1復化梯形公式

5．3．2復化辛普森公式

5．3．3復化科特斯公式

5．4龍貝格求積公式

5．4．1梯形法的遞推化

5．4．2龍貝格求積公式

5．5高斯型求積公式

5．5．1定義及性質

5．5．2常用高斯型求積公式

5．6數值微分

5．6．1差商代替微商

5．6．2插值型數值微分公式

5．6．3用三次樣條函數求導數

5.7數值實驗

習題5

第6章非線性方程與方程組的數值解法

6.1二分法

6.2迭代法

6.2.1不動點迭代法

6.2.2迭代法的幾何意義

6.2.3迭代法收斂的條件

6.2.4迭代法的收斂階

6.2.5埃特金加速法

6.3牛頓法

6.3.1牛頓法公式及誤差分析

6.3.2簡化牛頓法與牛頓下山法

6.4弦割法

6.5非線性方程組的解法

6.5.1簡單迭代法

6.5.2牛頓法

6.6數值實驗

習題6

第7章常微分方程初值問題的數值解法

7.1引言

7.2離散變量法

7.3歐拉法

7.3.1歐拉法原理

7.3.2隱式歐拉法

7.3.3改進的歐拉法

7.4龍格庫塔法

7.4.1龍格庫塔法的基本思想及一般形式

7.4.2龍格庫塔法的推導

7.5單步法的收斂性與穩定性

7.5.1相容性與收斂性

7.5.2穩定性

7.6線性多步法

7.6.1一般形式

7.6.2阿達姆斯方法

7.7方程組與高階方程初值問題的數值解法

7.7.1一階方程組的數值解法

7.7.2高階方程的數值解法

7.8數值實驗

習題7

第8章矩陣特徵值問題的數值方法

8.1特徵值估計與擾動

8.2冪法與反冪法

8.2.1冪法原理

8.2.2反冪法

8.3冪法的加速方法

8.3.1埃特金加速法

8.3.2原點平移法

8.4雅可比方法

8.5數值實驗

習題8

附錄MATLAB簡介

部分習題答案

參考文獻