矩陣特徵值

設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關係式Ax=λx成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣A特徵值，非零向量x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。式Ax=λx也可寫成( A-λE)X=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式| A-λE|=0。 ^[1] 

設A是數域P上的一個n階矩陣，λ是一個未知量，

係數行列式|A-λE|稱為A的特徵多項式，記¦(λ)=|λE-A|，是一個P上的關於λ的n次多項式，E是單位矩陣。

¦(λ)=|λE-A|=λⁿ+a₁λ^n-1+…+a_n= 0是一個n次代數方程，稱為A的特徵方程。特徵方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ₀)稱為A的特徵根(或特徵值)。n次代數方程在複數域內有且僅有n個根，而在實數域內不一定有根，因此特徵根的多少和有無，不僅與A有關，與數域P也有關。

以A的特徵值λ₀代入(λE-A)X=0，得方程組(λ₀E-A)X=0，是一個齊次方程組，稱為A的關於λ₀的特徵方程組。因為|λ₀E-A|=0，(λ₀E-A)X=0必存在非零解

，

稱為A的屬於λ₀的特徵向量。所有λ₀的特徵向量全體構成了λ₀的特徵向量空間。 ^[1] 

性質1：n階方陣A=(a_ij)的所有特徵根為λ₁，λ₂，…,λ_n(包括重根)，則：

性質2：若λ是可逆陣A的一個特徵根，x為對應的特徵向量，則1/λ 是A的逆的一個特徵根，x仍為對應的特徵向量。

性質3：若 λ是方陣A的一個特徵根，x為對應的特徵向量，則λ 的m次方是A的m次方的一個特徵根，x仍為對應的特徵向量。

性質4：設λ₁，λ₂，…,λ_m是方陣A的互不相同的特徵值。x_j是屬於λ_i的特徵向量( i=1,2,…,m)，則x₁,x₂,…,x_m線性無關，即不相同特徵值的特徵向量線性無關 ^[2]  。

對於矩陣A，由AX=λ₀X，λ₀EX=AX，得[λ₀E-A]X=0即齊次線性方程組

有非零解的充分必要條件是：

即説明特徵根是特徵多項式|λ₀E-A| =0的根，由代數基本定理

有n個復根λ₁,λ₂,…,λ_n，為A的n個特徵根。當特徵根λ_i(I=1,2,…,n)求出後，(λ_iE-A)X=0是齊次方程，λ_i均會使|λ_iE-A|=0，(λ_iE-A)X=0必存在非零解，且有無窮個解向量，(λ_iE-A)X=0的基礎解系以及基礎解系的線性組合都是A的特徵向量。

求矩陣

的特徵值與特徵向量。

解：由特徵方程

解得A有2重特徵值λ₁=λ₂=-2，有單特徵值λ₃=4。

對於特徵值λ₁=λ₂=-2，解方程組(-2E-A)x=0

得同解方程組x₁-x₂+x₃=0，解為x₁=x₂-x₃(x₂,x₃為自由未知量)。分別令自由未知量

得基礎解系

所以A的對應於特徵值λ₁=λ₂=-2的全部特徵向量為x=k₁ξ₁+k₂ξ₂(k₁,k₂不全為零)，可見，特徵值λ=-2的特徵向量空間是二維的。注意，特徵值在重根時，特徵向量空間的維數是特徵根的重數。

對於特徵值λ₃=4，方程組(4E-A)x=q

得同解方程組為

通解為

令自由未知量x₃=2得基礎解系ξ₃

，所以A的對於特徵值λ₃=4得全部特徵向量為x= k₃ξ_3。 ^[1]