數值分析

《數值分析（原書第2版）》介紹了現代數值分析中的重要概念與方法，包括線性和非線性方程與方程組的求解、數值微分和積分、插值、小二乘、常微分方程與偏微分方程的求解、特徵值與奇異值的計算、隨機數與壓縮方法，以及優化技術。全書穿插介紹了收斂、複雜度、條件、壓縮和正交這5個數值分析中重要的概念。本書內容廣泛,實例豐富,可作為自然科學、工程技術、計算機科學、數學、金融等專業人員進行教學和研究的參考書。 ^[2] 

譯者序

前言

第0章　基礎知識1

0.1　多項式求值1

0.2　二進制數字5

0.2.1　將十進制轉化為二進制5

0.2.2　將二進制轉化為十進制6

0.3　實數的浮點表示7

0.3.1　浮點格式7

0.3.2　機器表示10

0.3.3　浮點數加法12

0.4　有效數字缺失14

0.5　微積分回顧18

軟件與進一步閲讀21

第1章　求解方程22

1.1　二分法22

1.1.1　把根括住22

1.1.2　多準？多快25

1.2　不動點迭代27

1.2.1　函數的不動點27

1.2.2　不動點迭代幾何30

1.2.3　不動點迭代的線性收斂31

1.2.4　終止條件36

1.3　精度的極限39

1.3.1　前向與後向誤差39

1.3.2　威爾金森多項式42

1.3.3　根搜索的敏感性43

1.4　牛頓方法46

1.4.1　牛頓方法的二次收斂47

1.4.2　牛頓方法的線性收斂49

1.5　不需要導數的根求解54

1.5.1　割線方法及其變體54

1.5.2　Brent方法57

事實驗證1　Stewart平台運動學59

軟件與進一步閲讀61

第2章　方程組62

2.1　高斯消去法62

2.1.1　樸素的高斯消去法62

2.1.2　操作次數64

2.2　LU分解69

2.2.1　高斯消去法的矩陣形式69

2.2.2　使用LU分解回代71

2.2.3　LU分解的複雜度73

2.3　誤差來源75

2.3.1　誤差放大和條件數75

2.3.2　淹沒80

2.4　PA=LU分解83

2.4.1　部分主元83

2.4.2　置換矩陣85

2.4.3　PA=LU分解86

事實驗證2　歐拉伯努利橫樑91

2.5　迭代方法94

2.5.1　雅可比方法94

2.5.2　高斯塞德爾方法和SOR96

2.5.3　迭代方法的收斂99

2.5.4　稀疏矩陣計算100

2.6　用於對稱正定矩陣的方法105

2.6.1　對稱正定矩陣105

2.6.2　楚列斯基分解106

2.6.3　共軛梯度方法109

2.6.4　預條件113

2.7　非線性方程組118

2.7.1　多元牛頓方法118

2.7.2　Broyden方法120

軟件與進一步閲讀123

第3章　插值124

3.1　數據和插值函數124

3.1.1　拉格朗日插值125

3.1.2　牛頓差商127

3.1.3　經過n個點的d階多項式有多少130

3.1.4　插值代碼131

3.1.5　通過近似多項式表示函數132

3.2　插值誤差136

3.2.1　插值誤差公式136

3.2.2　牛頓形式和誤差公式的證明137

3.2.3　龍格現象139

3.3　切比雪夫插值141

3.3.1　切比雪夫理論141

3.3.2　切比雪夫多項式143

3.3.3　區間的變化145

3.4　三次樣條149

3.4.1　樣條的性質150

3.4.2　端點條件156

3.5　貝塞爾曲線160

事實驗證3　利用貝塞爾曲線定義字體164

軟件與進一步閲讀167

第4章　最小二乘168

4.1　最小二乘與法線方程168

4.1.1　不一致的方程組168

4.1.2　數據的擬合模型172

4.1.3　最小二乘的條件176

4.2　模型概述179

4.2.1　週期數據179

4.2.2　數據線性化182

4.3　QR分解188

4.3.1　格拉姆施密特正交與最小二乘188

4.3.2　改進的格拉姆施密特正交194

4.3.3　豪斯霍爾德反射子196

4.4　廣義最小余項（GMRES）方法201

4.4.1　Krylov方法201

4.4.2　預條件GMRES203

4.5　非線性最小二乘205

4.5.1　高斯牛頓方法205

4.5.2　具有非線性參數的模型208

4.5.3　Levenberg-Marquardt方法210

事實驗證4　GPS、條件和非線性最小二乘212

軟件與進一步閲讀214

第5章　數值微分和積分216

5.1　數值微分216

5.1.1　有限差分公式216

5.1.2　舍入誤差219

5.1.3　外推221

5.1.4　符號微分和積分222

5.2　數值積分的牛頓科特斯公式225

5.2.1　梯形法則226

5.2.2　辛普森法則227

5.2.3　複合牛頓科特斯公式229

5.2.4　開牛頓科特斯方法231

5.3　龍貝格積分234

5.4　自適應積分237

5.5　高斯積分241

事實驗證5　計算機輔助建模中的運動控制245

軟件與進一步閲讀247

第6章　常微分方程248

6.1　初值問題248

6.1.1　歐拉方法250

6.1.2　解的存在性、唯一性和連續性254

6.1.3　一階線性方程256

6.2　IVP求解器的分析258

6.2.1　局部和全局截斷誤差258

6.2.2　顯式梯形方法262

6.2.3　泰勒方法264

6.3　常微分方程組266

6.3.1　高階方程267

6.3.2　計算機仿真:鐘擺268

6.3.3　計算機仿真:軌道力學271

6.4　龍格庫塔方法和應用276

6.4.1　龍格庫塔家族276

6.4.2　計算機仿真:Hodgkin-Huxley神經元278

6.4.3　計算機仿真:Lorenz方程281

事實驗證6　Tacoma Narrows大橋283

6.5　可變步長方法286

6.5.1　龍格庫塔嵌入對286

6.5.2　4/5階方法288

6.6　隱式方法和剛性方程292

6.7　多步方法295

6.7.1　構造多步方法295

6.7.2　顯式多步方法298

6.7.3　隱式多步方法301

軟件與進一步閲讀305

第7章　邊值問題306

7.1　打靶方法306

7.1.1　邊值問題的解306

7.1.2　打靶方法的實現309

事實驗證7　圓環的扭曲312

7.2　有限差分方法314

7.2.1　線性邊值問題314

7.2.2　非線性邊值問題316

7.3　排列與有限元方法321

7.3.1　排列321

7.3.2　有限元以及Galerkin方法323

軟件與進一步閲讀328

第8章　偏微分方程329

8.1　拋物線方程329

8.1.1　前向差分方法330

8.1.2　前向差分方法的穩定分析332

8.1.3　後向差分方法334

8.1.4　Crank-Nicolson方法338

8.2　雙曲線方程344

8.2.1　波動方程345

8.2.2　CFL條件347

8.3　橢圓方程349

8.3.1　橢圓方程的有限差分方法351

事實驗證8　冷卻散熱片的熱分佈355

8.3.2　橢圓方程的有限元方法357

8.4　非線性偏微分方程366

8.4.1　隱式牛頓求解器367

8.4.2　二維空間中的非線性方程372

軟件與進一步閲讀378

第9章　隨機數和應用380

9.1　隨機數380

9.1.1　偽隨機數381

9.1.2　指數和正態隨機數385

9.2　蒙特卡羅模擬387

9.2.1　冪律和蒙特卡羅模擬387

9.2.2　擬隨機數389

9.3　離散和連續布朗運動392

9.3.1　隨機遊走393

9.3.2　連續布朗運動394

9.4　隨機微分方程397

9.4.1　有噪聲的微分方程397

9.4.2　數值方法求解SDE399

事實驗證9　Black-Scholes公式405

軟件與進一步閲讀407

第10章　三角插值和FFT408

10.1　傅里葉變換408

10.1.1　複數算術408

10.1.2　離散傅里葉變換410

10.1.3　快速傅里葉變換413

10.2　三角插值415

10.2.1　DFT插值定理415

10.2.2　三角插值函數的效率418

10.3　FFT和信號處理421

10.3.1　正交性和插值421

10.3.2　用三角函數進行最小二乘擬合424

10.3.3　聲音、噪聲和濾波427

事實驗證10　維納濾波429

軟件與進一步閲讀431

第11章　壓縮432

11.1　離散餘弦變換432

11.1.1　一維DCT432

11.1.2　DCT變換和最小二乘近似435

11.2　二維DCT和圖像壓縮437

11.2.1　二維DCT437

11.2.2　圖像壓縮440

11.2.3　量化443

11.3　霍夫曼編碼449

11.3.1　信息論和編碼449

11.3.2　JPEG格式中的霍夫曼編碼452

11.4　改進的DCT和音頻壓縮454

11.4.1　改進的DCT455

11.4.2　位量化460

事實驗證11　一個簡單的音頻編解碼器462

軟件與進一步閲讀464

第12章　特徵值與奇異值465

12.1　冪迭代方法465

12.1.1　冪迭代466

12.1.2　冪迭代的收斂468

12.1.3　冪迭代的逆469

12.1.4　瑞利商迭代470

12.2　QR算法472

12.2.1　同時迭代472

12.2.2　實數舒爾形式和QR算法475

12.2.3　上海森伯格形式477

事實驗證12　搜索引擎如何評價頁面質量481

12.3　奇異值分解484

12.3.1　找出一般的SVD486

12.3.2　特例:對稱矩陣487

12.4　SVD的應用489

12.4.1　SVD的性質489

12.4.2　降維490

12.4.3　壓縮492

12.4.4　計算SVD493

軟件與進一步閲讀494

第13章　最優化496

13.1　不使用導數的無約束優化497

13.1.1　黃金分割搜索497

13.1.2　持續的拋物線插值500

13.1.3　Nelder-Mead搜索502

13.2　使用導數的無約束優化505

13.2.1　牛頓方法505

13.2.2　最速下降507

13.2.3　共軛梯度搜索507

事實驗證13　分子形態和數值優化509 ^[2]