數值分析

《數值分析》是為高年級本科生、工科碩士研究生和數學類專業學生開設的“數值分析”（數值計算方法）課程編寫的教材。其內容包括數值分析的基本概念、非線性方程求根方法、解線性方程組的直接法、線性方程組的迭代解法、數據插值方法、數據擬合與函數逼近、數值積分與數值微分、常微分方程的數值解法。內容覆蓋了國家教委工科研究生數學課程教學指導小組所制定的工科碩士生數值分析課程教學基本要求。

教材注重理論與實踐相結合，既注重數值方法理論，也注重數值試驗課題介紹。特別對於數值計算中的常用方法（如迭代方法、對連續問題的離散化方法等）的應用給出了豐富的例子和數值試驗。書中每章後附有習題和數值計算的應用實例。重視數值試驗、應用實例是《數值分析》的特色之一。

《數值分析》也可供從事科學與工程計算的工作者參考。

第一章 數值分析的基本概念

§1．1 誤差和有效數字

§1．2 數值運算的誤差估計

§1．3 數值計算中的一些基本原則

應用：Koch分形曲線算法

習題

第二章 非線性方程求根方法

§2．1 二分法：

§2．2 迭代法的一般理論

§2．3 牛頓迭代法

應用：計算圓周率算法

習題二

第三章 解線性方程組的直接法

§3．1 高斯消元法

§3．2 列主元消元法與三角分解

§3．3 直接三角分解法

§3．4 向量和矩陣範數

§3．5 方程組直接方法的誤差估計

應用：小行星軌道問題

習題三

第四章 線性方程組的迭代解法

§4．1 雅可比迭代和高斯一賽德爾迭代

§4．2 雅可比迭代和高斯一賽德爾迭代的收斂性

§4．3 超鬆弛迭代法

§4．4 分塊迭代法

§4．5 共軛梯度算法

應用：平面温度場計算問題

習題四

第五章 數據插值方法

§5．1 拉格朗日插值

§5．2 均差與牛頓插值

§5．3 分段線性插值與多元函數插值

§5．4 埃爾米特插值

§5．5 樣條插值

應用：最速降線問題

習題五

第六章 數據擬合與函數逼近

§6．1 曲線擬合的最小二乘法

§6．2 正交多項式

§6．3 最佳平方逼近

應用：三角函數的有理逼近

習題六

第七章 數值積分與數值微分

§7．1 插值型求積公式與代數精確度

§7．2 複合求積公式及算法

§7．3 外推原理與龍貝格算法

§7．4 高斯型求積公式及其複合公式

§7．5 數值微分

應用：通信衞星覆蓋地球面積算法，計算定積分的蒙特卡羅

方法

習題七

第八章 常微分方程的數值解法

§8．1 簡單的數值方法

§8．2 龍格一庫塔方法

§8．3 單步法的收斂性和穩定性

§8．4 線性多步法

§8．5 一階常微分方程組和高階方程

應用：追擊曲線問題

習題八

參考文獻