數值分析

這本教材是作者在多年開設“數值分析”課程所講授內容基礎上編寫而成的。數值分析是科學計算的基礎，其主要內容包括線性和非線性方程組的解法、矩陣特徵值的計算、函數的插值和逼近、函數的數值積分和數值導數、常微分方程的數值解法等。

在教材內容的選材上，注重數值分析的基礎性及實用性，並適當增加和拓展了一些數值分析中的理論和算法。例如：矩陣奇異值分解、正則化方法、廣義共軛殘量極小化方法、導數的待定係數法以及高階導數公式、擬牛頓法及Levenberg-Marquardt方法。在講述數值方法的同時，儘可能闡述方法的設計思想及其理論依據；對方法的收斂性、計算結果的誤差分析等，儘可能給出簡潔證明。為了便於學習和掌握數值分析的內容，教材配備了較多的例題和習題，例題採用MathCAD和Matlab等軟件計算，部分習題計算量較大，可安排為上機實習題。 ^[1] 

本書是為理工科大學本科和研究生普遍開設的“數值分析”課程編寫的教材。 其內容包括插值與逼近，數值微分與數值積分，線性方程與非線性方程組的數值解法，矩陣的特徵值與特徵向量計算，常微分方程數值解法。在此基礎上對內容作了一些拓展，增加了SVD分解的應用、病態線性方程組的正則化方法、非線性方程組的擬牛頓法和Levenberg-Marquardt方法等。 ^[1] 

第1章算法和誤差

1數值方法簡介

2誤差與有效數字

3函數運算的誤差估計

4防止計算誤差的傳播

習題

第2章解線性方程組的直接法

1Gauss消去法

2Gauss主元消去法

3矩陣的三角分解

4直接三角分解法

5Cholesky分解

6改進的平方根方法

7追趕法

8向量和矩陣的範數

9誤差分析

10殘量

11線性離散不適定系統的求解

習題

第3章求解線性方程組的迭代法

1向量序列的收斂性

2一階線性定常迭代

3Jacobi迭代法

4Gauss—Seidel迭代法

5迭代法收斂性再研究

6逐次鬆弛法

7共軛梯度法

8廣義殘量極小化方法

習題

第4章矩陣特徵值的計算方法

1冪法

2位移與反冪法

3計算次主特徵值方法

4QR方法

習題

第5章多項式插值

1多項式插值概述

2拉格朗日插值多項式

3插值餘項

4牛頓插值多項式

5牛頓插值多項式的餘項

6Hermite插值多項式

7分段線性插值多項式

8分段三次Hermite插值多項式

9三次樣條插值多項式

習題

第6章函數的最佳逼近

1賦範線性空間

2最佳平方逼近問題的解

3C（a，b）上的最佳平方逼近

4向量空間的最佳平方逼近

5QR分解求解最小二乘問題

6SVD分解求解最小二乘問題

7最佳逼近的應用

8曲線擬合

9用正交多項式作曲線擬合

習題

第7章函數方程求根

1二分法

2不動點迭代法

3收斂速度

4迭代過程的加速

5牛頓法

6非線性方程組的數值解法

習題

第8章數值積分與導數

1牛頓—柯特斯公式

2牛頓—柯特斯公式的誤差

3復化求積公式

4變步長復化梯形公式

5Romberg公式

6Gauss型求積公式

7Gauss型求積公式的性質

8常用的Gauss型求積公式

9數值微分的中點公式

10用外推方法計算導數

11數值微分的應用

習題

第9章常微分方程數值解法

1泰勒級數方法

2歐拉方法

3歐拉方法的誤差

4改進的歐拉方法

54階龍格—庫塔公式

6單步法的收斂性與穩定性

7阿達姆斯預估—校正公式

8一階方程組

9高階方程的處理

10邊值問題數值解

習題

參考文獻 ^[1-2]