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《數值分析(高校教材)》：高等學校專業教材

《數值分析(高校教材)》系統地闡述了數值分析的基本知識，介紹了各種數值計算方法，全書共分十三章。第一章介紹數值計算的基本概念和誤差分析的知識；第二章介紹非線性方程的數值解法，包括二分法、迭代法、牛頓法和絃截法；第三章介紹函數插值，包括拉格朗日插值和牛頓插值；第四章介紹數值微分及理查森外推法；第五章介紹數值積分，包括梯形法、龍貝格算法和辛普生法；第六章介紹線性方程組的求解，包括高斯消去法、解三對角線方程組的追趕法、LU分解法、雅可比迭代法、賽德爾迭代法及鬆弛法；第七章介紹非線性方程組的求解，包括雅可比迭代法、賽德爾迭代法、鬆弛法及牛頓一拉夫森法；第八章介紹樣條函數在插值及數值微分中的應用；第九章介紹迴歸分析方法，包括一元線性迴歸、多元線性迴歸及多項式擬合；第十章介紹常微分方程的數值解，包括求解初值問題的歐拉法、四階龍格一庫塔法和求解邊值問題的打靶法、有限差分法；第十一章介紹三種典型偏微分方程的數值解法，包括求解拋物型方程的顯式差分、隱式差分和克拉克一尼科爾森六點格式及求解雙曲型方程、橢圓型方程的有限差分法；第十二章介紹最優化方法，包括單變量函數優化的黃金分割法、插值法、無約束多變量函數優化的單純形法和有約束優化的BOX複合形法；第十三章介紹Monte Carlo模擬的應用，包括在數值積分、數學建模、高分子科學研究中的應用。 ^[1] 

第一章 緒論

第一節 數值計算方法

第二節 程序設計

第三節 誤差

第二章 非線性代數方程的求根

第一節 二分法

第二節 迭代法

第三節 牛頓法

第四節 弦截法(割線法)

第三章 插值

第一節 概述

第二節 拉格朗日插值

第三節 牛頓插值

第四節 差分與等距節點插值公式

第五節 分段插值法

第四章 數值微分

第一節 方法描述

第二節 算法及程序

第三節 理查森外推

第五章 數值積分

第一節 “下和”和“上和”

第二節 梯形法則

第三節 龍貝格算法

第四節 辛普生法則

第五節 自適應辛普生法

第六章 線性方程組

第一節 本原高斯消去法

第二節 標度化部分選主元的高斯消去法

第三節 三對角線方程組及其它帶狀系統

第四節 LU分解法

第五節 迭代法

第七章 非線性方程組求解

第一節 雅可比迭代法

第二節 賽德爾迭代法

第三節 鬆弛法迭代

第四節 牛頓一拉夫森法

第八章 樣條函數

第一節 三次樣條函數插值

第二節 用三次樣條函數求數值微分

第九章 最小二乘法與迴歸分析

第一節 一元線性迴歸

第二節 多元線性迴歸

第三節 多項式擬合

第十章 常微分方程數值解

第一節 常微分方程初值問題的數值解

第二節 常微分方程組初值問題的數值解

第三節 高階常微分方程初值問題的數值解

第四節 常微分方程邊值問題的數值解

第十一章 偏微分方程數值解

第一節 拋物型方程

第二節 雙曲型方程

第三節 橢圓型方程

第十二章 過程最優化

第一節 單變量函數的最優化

第二節 無約束多變量函數的優化

第三節 有約束多變量函數的優化

第十三章 Monte Carlo模擬

第一節 隨機數

第二節 用Monte Carlo法求數值積分

第三節 Monte Carlo模擬

第四節 Monte Carlo方法在高分子研究中的應用

參考文獻

近年來，計算機的廣泛應用使計算數學有了很大的發展。計算數學的理論與方法已影響到許多學科，並在生產、管理、教學以及科學研究領域得到了廣泛應用，科學計算已經與科學試驗、理論研究一起，成為人類認識自然的基本途徑。在解決錯綜複雜的實際問題時，人們通常根據理論與實驗結果建立數學模型，而大部分數學模型都是難以得到解析解的，此時需要藉助計算機的強大計算功能採用數值法求解。在工程領域，數值計算廣泛應用於工業設計、過程開發、最優化分析等領域。因此，掌握計算方法的基本知識，熟練運用計算方法解決實際應用中的數學問題，已經成為理工科大學生的必備技能。袁渭康院士更是指出：工科學生的計算能力是其創新能力的重要組成部分。

本書系統地闡述了數值分析的基本知識，介紹了各種數值計算方法，全書共分十三章。第一章介紹數值計算的基本概念和誤差分析的知識；第二章介紹非線性方程的數值解法，包括二分法、迭代法、牛頓法和絃截法；第三章介紹函數插值，包括拉格朗日插值和牛頓插值；第四章介紹數值微分及理查森外推法；第五章介紹數值積分，包括梯形法、龍貝格算法和辛普生法；第六章介紹線性方程組的求解，包括高斯消去法、解三對角線方程組的追趕法、LU分解法、雅可比迭代法、賽德爾迭代法及鬆弛法；第七章介紹非線性方程組的求解，包括雅可比迭代法、賽德爾迭代法、鬆弛法及牛頓一拉夫森法；第八章介紹樣條函數在插值及數值微分中的應用；第九章介紹迴歸分析方法，包括一元線性迴歸、多元線性迴歸及多項式擬合；第十章介紹常微分方程的數值解，包括求解初值問題的歐拉法、四階龍格一庫塔法和求解邊值問題的打靶法、有限差分法；第十一章介紹三種典型偏微分方程的數值解法，包括求解拋物型方程的顯式差分、隱式差分和克拉克一尼科爾森六點格式及求解雙曲型方程、橢圓型方程的有限差分法；第十二章介紹最優化方法，包括單變量函數優化的黃金分割法、插值法、無約束多變量函數優化的單純形法和有約束優化的BOX複合形法；第十三章介紹Monte Carlo模擬的應用，包括在數值積分、數學建模、高分子科學研究中的應用。

數值分析是一門實用性很強的學科，本書在編寫過程中力求面向應用，避免過多的數學論證，將重點放在方法的實現及工程應用方面。通過本書的學習，使學生能真正會用這些方法解決實際問題是本書的重要目標。書中給出了各種數值計算方法的流程圖，全部流程圖均以N-S結構化流程圖即盒圖表示，便於理解和閲讀，書中還給出了大部分方法的c++語言源程序，便於讀者自學。本書中所有源程序均在VC++6.0平台上運行通過。書中給出了適量的例題及習題，便於讀者編程實現和練習。