數值分析

本書內容是現代科學計算中常用的數值計算方法及其理論，包括插值和擬合、數值積分和數值微分、線性方程組的直接解法和迭代解法、非線性方程和方程組的數值解法、矩陣特徵值問題的數值解法和常微分方程的數值解法。每章都有實際問題的引入、算法程序文件、練習題和數值試驗題。

本書注重內容的實用性、基本思想的闡述、數值計算方法的應用能力。內容取材精煉，敍述清晰，系統性強，數值計算的例子較多。各章分別給出了若干算法的Matlab函數文件（作為算法描述和方法應用的補充）。

本書可作為理工科專業研究生和數學專業大學生數值分析課程的教材或教學參考書，也可供從事科學與工程計算的科技人員學習參考。 ^[1] 

第1章 緒論1

1.1 數值分析的研究對象和特點，1

1.2 數值計算的誤差，2

1.2.1 誤差的來源，2

1.2.2 誤差與有效數字，2

1.2.3 函數求值的誤差估計，4

1.2.4 計算機中數的表示和舍入誤差，5

1.3 數值穩定性和要注意的若干原則，6

1.3.1 數值方法的穩定性，6

1.3.2 避免有效數字的損失，7

1.3.3 減少運算次數，8

1.4 向量和矩陣的範數，9

1.4.1 向量的範數，9

1.4.2 矩陣的範數，11

1.5 Matlab使用簡介，14

1.5.1 Matlab系統的常用概念，15

1.5.2 Matlab語言語法要點，16

1.5.3 簡單程序設計，18

評註，21

習題1，22

數值試驗題1，24

第2章 插值和擬合25

2.1 多項式插值，25

2.1.1 Lagrange插值多項式，26

2.1.2 均差和Newton插值多項式，28

2.1.3 差分和等距節點插值公式，31

2.1.4 Hermite插值多項式，35

2.2 分段低次插值，37

2.2.1 多項式插值的問題，37

2.2.2 分段線性插值，37

2.2.3 分段三次Hermite插值，39

2.3 三次樣條插值，40

2.3.1 三次樣條插值函數的概念，40

2.3.2 三彎矩算法，41

2.3.3 三轉角算法，44

2.3.4 三次樣條插值函數的誤差估計，46

2.4 正交多項式和最佳平方逼近，46

2.4.1 離散點集上的正交多項式，46

2.4.2 連續區間上的正交多項式，47

2.4.3 連續函數的最佳平方逼近，49

2.5 離散數據的曲線擬合，52

2.5.1 最小二乘擬合，52

2.5.2 多項式擬合，53

2.5.3 正交多項式擬合，55

2.6 插值和擬合的若干Matlab函數文件，57

2.6.1 Lagrange插值多項式的Matlab函數文件，57

2.6.2 Newton插值多項式的Matlab函數文件，57

2.6.3 二次最小二乘擬合的Matlab函數文件，58

評註，59

習題2，60

數值試驗題2，61

第3章 數值積分和數值微分63

3.1 Newton-Cotes求積公式，64

3.1.1 插值型求積法，64

3.1.2 Newton-Cotes求積公式，65

3.1.3 Newton-Cotes公式的誤差分析，67

3.2 復化求積公式，69

3.2.1 復化梯形求積公式，69

3.2.2 復化Simpson求積公式，70

3.3 外推原理與Romberg求積法，72

3.3.1 外推原理，72

3.3.2 Romberg求積法，73

3.4 Gauss求積公式，75

3.4.1 Gauss求積公式的基本理論，75

3.4.2 常用Gauss求積公式，77

23.4.3 Gauss求積公式的餘項與穩定性，79

3.5 數值微分，81

3.5.1 插值型求導公式，81

3.5.2 三次樣條求導，83

3.5.3 數值微分的外推算法，83

3.6 數值積分的若干Matlab函數文件，84

3.6.1 復化梯形積分公式的Matlab函數文件，84

3.6.2 復化Simpson積分公式的Matlab函數文件，85

3.6.3 Romberg積分法的Matlab函數文件，85

評註，86

習題3，86

數值試驗題3，88

第4章 線性方程組的直接解法89

4.1 Gauss消去法，90

4.1.1 Gauss消去法的計算過程，90

4.1.2 矩陣的三角分解，93

4.1.3 主元素消去法，95

4.1.4 Gauss-Jordan消去法，97

4.2 直接三角分解方法，99

4.2.1 一般矩陣的直接三角分解法，99

4.2.2 三對角方程組的追趕法，102

4.2.3 平方根法，105

4.3 方程組的性態與誤差估計，107

4.3.1 矩陣的條件數，107

4.3.2 方程組解的誤差估計，109

4.4 直接解法的若干Matlab函數文件，111

4.4.1 列選主元素消去法的Matlab函數文件，111

4.4.2 矩陣LU分解的Matlab函數文件，111

4.4.3 解三對角方程組的Matlab函數文件，113

評註，113

習題4，114

數值試驗題4，116

第5章 線性方程組的迭代解法118

5.1 基本迭代方法，119

5.1.1 迭代公式的構造，1193

5.1.2 Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法，119

5.2 迭代法的收斂性，121

5.2.1 一般迭代法的收斂性，121

5.2.2 Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法的收斂性，125

5.3 超鬆弛迭代法，127

5.4 分塊迭代法，130

5.5 迭代法的若干Matlab函數文件，131

5.5.1 Jacobi迭代法的Matlab函數文件，131

5.5.2 SOR法的Matlab函數文件，132

評註，133

習題5，133

數值試驗題5，135

第6章 非線性方程和方程組的數值解法136

6.1 方程求根的二分法，137

6.2 一元方程的不動點迭代法，138

6.2.1 不動點迭代法及其收斂性，138

6.2.2 局部收斂性和加速收斂法，142

6.3 一元方程的常用迭代法，146

6.3.1 Newton迭代法，146

6.3.2 割線法與拋物線法，148

6.4 非線性方程組的數值解法，151

6.4.1 非線性方程組的不動點迭代法，151

6.4.2 非線性方程組的Newton法，155

6.4.3 非線性方程組的擬Newton法1576.5 方程求根的若干Matlab函數文件，160

6.5.1 二分法的Matlab函數文件，160

6.5.2 Newton迭代法的Matlab函數文件，160

6.5.3 割線法的Matlab函數文件，161

評註，162

習題6，162

數值試驗題6，163

第7章 矩陣特徵值問題的數值解法165

7.1 特徵值問題的性質與估計，165

7.2 冪法和反冪法，167

7.2.1 冪法和加速方法，167

7.2.2 反冪法和原點位移，169

7.3 Jacobi方法，171

7.4 QR算法，175

7.4.1 化矩陣為Hessenberg形，175

7.4.2 QR算法及其收斂性，178

7.4.3 帶原點位移的QR算法，182

7.5 特徵值問題的若干Matlab函數文件，185

7.5.1 冪法的Matlab函數文件，185

7.5.2 反冪法的Matlab函數文件，185

7.5.3 QR算法的Matlab函數文件，185

評註，186

習題7，187

數值試驗題7，188

第8章 常微分方程的數值解法190

8.1 Euler方法，190

8.1.1 Euler方法及其有關的方法，190

8.1.2 局部誤差和方法的階，193

8.2 Runge-Kutta方法，195

8.2.1 Runge-Kutta方法的基本思想，195

8.2.2 幾類顯式Runge-Kutta方法，196

8.3 單步法的收斂性和穩定性，199

8.3.1 單步法的收斂性，199

8.3.2 單步法的穩定性，200

8.4 線性多步法，202

8.4.1 基於數值積分的方法，203

8.4.2 基於Taylor展開的方法，205

8.4.3 預估-校正算法，208

8.5 一階方程組的數值解法，211

8.5.1 一階方程組和高階方程，211

8.5.2 剛性方程組，212

8.6 邊值問題的數值解法，214

8.6.1 打靶法，214

8.6.2 差分方法，217

8.7 常微分方程數值解的若干Matlab函數文件，220

8.7.1 Euler方法的Matlab函數文件，2205

8.7.2 經典Runge-Kutta法的Matlab函數文件，220

8.7.3 三階Adams方法的Matlab函數文件，221

評註，222

習題8，222

數值試驗題8，224

習題答案，226

參考文獻，231 ^[1]