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三次樣條插值
鎖定
三次樣條插值(Cubic Spline Interpolation)簡稱Spline插值,是通過一系列形值點的一條光滑曲線,數學上通過求解三彎矩方程組得出曲線函數組的過程。
- 中文名
- 三次樣條插值
- 外文名
- Cubic Spline Interpolation
- 簡 稱
- Spline插值
- 性 質
- 數學術語
- 基 礎
- 樣條插值
- 應 用
- 數學工程等
三次樣條插值基本概念
早期工程師製圖時,把富有彈性的細長木條(所謂樣條)用壓鐵固定在樣點上,在其他地方讓它自由彎曲,然後沿木條畫下曲線。成為樣條曲線。
三次樣條插值相關函數
三次樣條函數:
定義:函數S(x)∈C2[a,b] ,且在每個小區間[ xj,xj+1 ]上是三次多項式,其中
a =x0 <x1<...< xn= b 是給定節點,則稱S(x)是節點x0,x1,...xn上的三次樣條函數。
若在節點x j 上給定函數值Yj= f (Xj).( j =0, 1, , n) ,併成立
S(xj ) =yj .( j= 0, 1, , n) ,則稱S(x)為三次樣條插值函數。
實際計算時還需要引入邊界條件才能完成計算。邊界通常有自然邊界(邊界點的二階導為0),夾持邊界(邊界點導數給定),非扭結邊界(使兩端點的三階導與這兩端點的鄰近點的三階導相等)。一般的計算方法書上都沒有説明非扭結邊界的定義,但數值計算軟件如Matlab都把非扭結邊界條件作為默認的邊界條件。
三次樣條插值數學表達式
一種常用的樣條插值設[a,b]上的插值節點構成[a,b]的一個分劃Δ:a=x0<x1<…<xn=b,f(x)於各節點的值是f(xi)=fi(i=0,1,…,n).三次樣條插值問題是求[a,b]上關於分劃Δ的三次樣條函數s(x).根據s(x)應滿足的兩個條件於[xi,xi+1],有
hi-1Mi-1+2(hi-1+hi)Mi+hiMi+1
方程組(2)是含有n+1個未知數Mi(i=0,1,…,n)的由n-1個方程組成的線性方程組,不能定解.為此尚需補充兩個條件.一般,在插值區間兩個端點各補充一個條件,通常稱為端點條件.最常用的端點條件有三種類型:
1.s′(x0)=f0′, s′(xn)=fn′.
2.s″(x0)=f0″, s″(xn)=fn″.
3.s(x0)=s(xn) (j=0,1,2).
用Mi表示,這三種條件依次為:
三次樣條插值求解過程
1.將方程組(2)與三種端點條件的任何一種聯合,解關於M0,M1,…,Mn的線性方程組.
2.將Mi(i=0,1,…,n)代入方程組(1)就得到s(x)關於各子區間的表達式.
特別指出,若第2種端點條件取為
M0=Mn=0(s″(x0)=s″(xn)=0),
三次樣條插值三次樣條函數的構造
在工程上,構造三次樣條插值函數通常有兩種方法:一是以給定插值結點處得二階導數值作為未知數來求解,而工程上稱二階導數為彎矩,因此,這種方法成為三彎矩插值。二是以給定插值結點處得一階導數作為未知數來求解,而一階導數又稱為斜率,因此,這種方法稱為三斜率插值。