常微分方程數值解法

作為數值分析的基礎內容，常微分方程數值解法的研究已發展得相當成熟，理論上也頗為完善，各類有實用價值的算法已經建立，並已形成計算機軟件。它處理問題的思路與方法常可用於偏微分方程的數值求解。主要研究以下三類定解問題的數值解法：初值問題、兩點邊值問題與特徵值問題。初值問題的數值解法應用廣泛，是常微分方程數值解法的主要內容。在這方面有突出貢獻的學者當推達赫奎斯特（Dahlquist，G.）、巴特赫爾（Butcher，J.C.）及吉爾（Gear，C.W.）等人。兩點邊值問題及特徵值問題的研究相對較為薄弱，其中凱勒爾（Keller，H.B.）的工作影響較大。 ^[1] 

構造常微分方程數值算法的基本途徑有：

1、用差商替代導數。將微分問題中未知函數及其導數分別用在某些離散點處函數值的組合與差商近似替代。

2、數值積分法。將微分問題轉化為等價的積分方程問題，用各種數值積分公式近似計算未知函數的積分。

3、待定係數法。把欲構造的計算公式寫成在離散點函數值之線性組合的待定係數形式，利用函數的泰勒展開式與對公式的精度要求，確定公式的係數。

4、加權餘量法。根據微分方程餘量極小化的要求，確定計算公式。 ^[1] 

常微分方程數值解法研究的基本問題有：

1、構造計算公式；

2、研究算法的相容性、精度階與收斂性，估計局部與整體截斷誤差；

3、研究在計算過程中舍入誤差傳播與積累的規律，即方法的穩定性問題；

4、算法的數值實現問題，力圖以較小的計算工作量與可靠的軟件系統，在計算機上給出滿足精度要求的計算結果。 ^[1] 

指研究求解初值問題各類數值方法的構造、理論分析與數值實現問題。研究的主要對象為一階方程組初值問題

式中 y 及 f 均為向量函數。對於高階方程的問題，約定已事先用引進新未知數的辦法化為一階方程組。在研究中，需要把問題區分為兩大類：非剛性問題與剛性問題。這是根據問題之解的數學性質來區分的。傳統的數值方法（例如，經典龍格庫塔法等）適用於非剛性問題，而對剛性問題則需要構造新的計算公式，這是因為，此類問題對數值方法的穩定性有特殊要求。 ^[1]