小波分析

小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實際經驗的需要建立了反演公式，當時未能得到數學家的認可。正如1807年法國的熱學工程師J.B.J.Fourier提出任一函數都能展開成三角函數的無窮級數的創新概念未能得到著名數學家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認可一樣。幸運的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發現、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準備，而且J.O.Stromberg還構造了歷史上非常類似於當前的小波基；1986年著名數學家Y.Meyer偶然構造出一個真正的小波基，並與S.Mallat合作建立了構造小波基的統一方法加多尺度分析之後，小波分析才開始蓬勃發展起來，其中比利時女數學家I.Daubechies撰寫的《小波十講（Ten Lectures on Wavelets）》對小波的普及起了重要的推動作用。它與Fourier變換、窗口Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個時間和頻率的局域變換，因而能有效的從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數或信號進行多尺度細化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽為“數學顯微鏡”，它是調和分析發展史上里程碑式的進展。 ^[1] 

小波函數源於多分辨分析，其基本思想是將擴中的函數f(t)表示為一系列逐次逼近表達式, 其中每一個都是f(t)動經過平滑後的形式，它們分別對應不同的分辨率。多分辨分析又稱多尺度分析，是建立在函數空間概念基礎上的理論，其思想的形成來源於工程。創建者Mallat .S是在研究圖像處理問題時建立這套理論的。當時人們研究圖像的一種很普遍的方法是將圖像在不同尺度下分解，並將結果進行比較，以取得有用的信息。Meyer正交小波基的提出，使得Mallat想到是否用正交小波基的多尺度特性將圖像展開，以得到圖像不同尺度間的“ 信息增量” 。這種思想導致了多分辨分析理論的建立。MRA不僅為正交小波基的構造提供了一種簡單的方法，而且為正交小波變換的快速算法提供了理論依據。其思想又同多采樣率濾波器組不謀而合，使我們又可將小波變換同數學濾波器的理論結合起來。因此，多分辨分析在正交小波變換理論中具有非常重要的地位。 ^[2] 

小波分析的應用是與小波分析的理論研究緊密地結合在一起地。它已經在科技信息產業領域取得了令人矚目的成就。 電子信息技術是六大高新技術中重要的一個領域，它的重要方面是圖像和信號處理。現今，信號處理已經成為當代科學技術工作的重要部分，信號處理的目的就是：準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構（或恢復）。從數學地角度來看，信號與圖像處理可以統一看作是信號處理（圖像可以看作是二維信號），在小波分析地許多分析的許多應用中，都可以歸結為信號處理問題。對於其性質隨時間是穩定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實際應用中的絕大多數信號是非穩定的，而特別適用於非穩定信號的工具就是小波分析。

小波分析是當前應用數學和工程學科中一個迅速發展的新領域，經過近30年的探索研究，重要的數學形式化體系已經建立，理論基礎更加紮實。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運算功能可對函數或信號進行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯繫了應用數學、物理學、計算機科學、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學科。數學家認為，小波分析是一個新的數學分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣條分析、數值分析的完美結晶；信號和信息處理專家認為，小波分析是時間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數據壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學意義和應用價值的成果。

小波分析是當前數學中一個迅速發展的新領域，它同時具有理論深刻和應用十分廣泛的雙重意義。

事實上小波分析的應用領域十分廣泛，它包括：數學領域的許多學科；信號分析、圖像處理；量子力學、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫學成像與診斷；地震勘探數據處理；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數學方面，它已用於數值分析、構造快速數值方法、曲線曲面構造、微分方程求解、控制論等；在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等；在圖像處理方面的圖像壓縮、分類、識別與診斷，去污等；在醫學成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高分辨率等。

(1)小波分析用於信號與圖像壓縮是小波分析應用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮後能保持信號與圖像的特徵不變，且在傳遞中可以抗干擾。基於小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。

(2)小波在信號分析中的應用也十分廣泛。它可以用於邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱信號、求分形指數、信號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。小波分析在信號時域和頻域都具有表徵局部特徵的優勢，因此，它已成為信號處理領域的主要工具之一。 ^[3] 

(3)在工程技術等方面的應用。包括計算機視覺、計算機圖形學、曲線設計、湍流、遠程宇宙的研究與生物醫學方面。

熱點應用領域：地球物理勘探，主要體現在在降噪、信號分離、提高地震資料分辨率、地震壓縮數據和油氣預測等幾個方面。 ^[2] 

小波分析的應用前景如下： ^[2] 

1、瞬態信號或圖像的突變點常包含有很重要的故障信息, 例如，機械故障、電力系統故障、腦電圖、心電圖中的異常、地下目標的位置及形狀等，都對應於測試信號的突變點。雖然這些問題發生的背景不同，但都可以歸結到如何提取信號中突變點的位置及判定其奇異性(或光滑性) 的問題。對圖像來説，急劇變化的點通常對應於代表圖像結構的邊緣部位，也就是圖像信息的主要部分。掌握了它，也就掌握了圖像的基本特徵，因此，小波分析在故障檢測和信號的多尺度邊緣特徵提取方面的應用具有廣泛的應用前景。

2、神經網絡與小波分析相結合, 分形幾何與小波分析相結合是國際上研究的熱點之一。基於神經網絡的智能處理技術, 模糊計算、進化計算與神經網絡結合的研究, 沒有小波理論的嵌入很難取得突破。非線性科學的研究正呼喚小波分析, 也許非線性小波分析是解決非線性科學問題的理想工具。

3、小波分析用於數據或圖像的壓縮，絕大多數是對靜止圖像進行研究的。面向網絡的活動圖像壓縮, 長期以來主要是採用離散餘弦變換（運動補償（MC） 作為編碼技術，然而，該方法存在兩個主要的問題：方塊效應和蚊式噪聲。利用小波分析的多尺度分析不但可以克服上述問題，而且可首先得到粗尺度上圖像的輪廓，然後決定是否需要傳輸精細的圖像，以提高圖像的傳輸速度。因此, 研究面向網絡的低速率圖像壓縮的小波分析並行算法，具有較高探索性和新穎性，同時也具有較高的應用價值和廣泛的應用前景。

4、使用的二維及高維小波基主要是可分離的，不可分離二維及高維小波基的構造、性質及其應用研究, 由於理論上較為複雜，這方面的成果甚少。也許向量小波及高維小波的研究能夠為小波分析的應用開創一個新天地。