-
簡化牛頓法
鎖定
牛頓法最初由艾薩克·牛頓於1736年在 Method of Fluxions 中公開提出。而事實上方法此時已經由Joseph Raphson於1690年在Analysis Aequationum中提出，與牛頓法相關的章節《流數法》在更早的1671年已經完成了。
- 中文名
- 簡化牛頓法
- 外文名
- Simplified Newton method
- 領 域
- 數學
- 基 礎
- 牛頓法
- 提出者
- 艾薩克 牛頓
- 時 間
- 1736年
.
簡化牛頓法牛頓法原理
設
，則其解為
因為這是利用泰勒公式的一階展開，
處並不是完全相等，而是近似相等，這裏求得的
並不能讓
，只能説
的值比
更接近
，於是乎，迭代求解的想法就很自然了，
簡化牛頓法牛頓法運算方法
簡化牛頓法導數法
這裏將簡單介紹一下牛頓二階導數法。對其幾何意義及收斂性不作詳細的敍述，讀者可仿照牛頓法進行討論。
將f(x)在x0處展開泰勒級數f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-xo )+ f″(x0)(x- x) +…
取右端前三項近似代替f(x)，於是得f(x)=0的近似方程為
f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) =0
也即f( )+(x- )[f′( )+ f″( )(x- )] =0 (3)
設其解為 .利用(1)， - =- ，代入(3)中括號內 - ,則得f( )+( - ) [f′( )+ f″( ) ] =0
於是解出 ，得 = -
重複以上過程得： = -
於是得牛頓二階導數法的迭代公式為：
= - n=0,1,2,… (4)
上式與牛頓法迭代公式(2)相比，利用此公式求根收斂更快，迭代次數更少。其缺點是要求f(x)的二階導數存在。
簡化牛頓法切線法
這是一個由開方公式引出的：
X(n+1)=Xn+(A/X^(k-1)-Xn)1/k (5)（n,n+1表示下角標）
開立方公式：
當（5）式中的K=3時就是開立方公式。
設A = X^3,求X.稱為開立方。 開立方有一個標準的公式：
X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角標）
例如，A=5，,即求
5介於1的3次方;至2的3次方;之間（1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我們取X0 = 1.9按照公式：
第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位數值,，即1.7。
第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值
偏小，輸出值自動轉大。即5=1.7099^3;
當然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一個,都是X1 = 1.7 > 。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。
如果用這個公式開平方，只需將3改成2，2改成1。即
X（n + 1） = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2 （n，n+1是下角標）
例如，A=5：
5介於2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取 中間值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。
第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位數。
第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
簡化牛頓法簡化牛頓法
為了減少牛頓法的計算量，在每步計算中用F'(x^0)代替F'(x^k)，得簡化牛頓程序：
於是由x^k計算x^(k+1)只需計算F(x^k)，不再計算F'(x^k)及求逆，使每步計算量大大減少，這是此算法的優點，其缺點是收斂慢，只有線性收斂速度。
迭代法是方程求根最常用的方法，其基本思想是一種逐次逼近的方法。即首先給定一個粗糙的初始值，然後用同一個迭代公式反覆校正這個初值，直到滿足預先給出的精度要求為止，該方法的關鍵是如何構造一個合適的迭代表達式。
對於非線性方程f(X)= 0，牛頓法所構造的迭表達式為：
XN+ 1= XN-f(X)/f′(X)
牛頓法每迭代一次，都需要計算f'(X)的值，若f(X)比較複雜，計算f'(X)的工作量就可能很大，此時用一個給定的常數c來代替f'(X)值，這時迭代表達式就成為：
XN+ 1= XN-f(X)/c
- 參考資料
-
- 1. J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Classics in Applied Mathematics, SIAM, 2000. ISBN 0-89871-461-3.
- 2. Kendall E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, (1989) John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-62489-6
- 3. C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton's Method, no 1 in Fundamentals of Algorithms, SIAM, 2003. ISBN 0-89871-546-6.
- 4. P. Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics, Vol. 35. Springer, Berlin, 2004. ISBN 3-540-21099-7.
