近似值

在實際問題中許多數值是無法完全準確的，許多數值要求不必弄得完全準確的，考慮這些數值的大概的數值，這就是近似數(或近似值，在方程中常稱為近似解）。

使用近似數就有一個近似程度的問題，一個近似數四捨五入的位數，即這個近似數精確到哪一位。從左邊第一個不是零的數字起，到精確到的那一位數止，所有的數字都叫做這個數值的“有效數字”。在實際計算時，對精確的要求提法不同，一般是可以“精確到哪一位”或者要求“保留幾位數”或“保留幾個有效數字”。在沒有特殊説明的情況下，要遵循四捨五入的原則。

根據要求，要省略的尾數的最高位上的數字小於或等於4的，就直接把尾數捨去；如果尾數的最高位數大於或等於5，把尾數捨去後並向它的前一位進“1”，即滿五進一。這種取近似數的方法叫做四捨五入法。 ^[1] 

如：把3.15482分別保留一位、兩位、三位小數。

保留一位小數：3.15482≈3.2

保留兩位小數：3.15482≈3.15

保留三位小數：3.15482≈3.155

進一法是去掉尾數以後，在需要保留的部分的最後一位數字上進“1”。這樣得到的近似值為過剩近似值（即比準確值大），該方法又稱“收尾法”。 ^[2] 

如：一個麻袋能裝小麥100千克，現有830千克小麥，需要幾個麻袋才能裝完？

錯解：830÷100=8.3≈8（個）

麻袋的個數不能用小數來表示的。但不能用四捨五入法，將8.3保留整數為8個，因為8個麻袋只能裝800千克，還剩下30千克小麥不可能不要，因此必須採用進一法，用9個麻袋才能裝完。

正解：830÷100=8.3≈9（個）

退一法是去掉尾數後，在需要保留的部分的最後一位數字上退“1”。這樣得到的近似值為不足近似值（即比準確值小）。

四捨五入法

“四捨五入法”是最常用的取近似值的方法，使用方法是：去掉尾數後，觀察需要保留的部分的最後一位數，若最後一位數小於5則捨去，否則進位1。

在實際計算中，根據實際情況有時需要把一個數某位後面的數字全部捨去，而不管這些數字是否等於或大於5，這種取近似數的方法叫去尾法。

如：一件上衣用布2.8米，現有布16米，可做多少件上衣？

錯解：16÷2.8=5.71……≈6（件）

商的整數部分是5（可做5件），餘數是20（還餘下2米），但餘下的2米不夠做一件上衣，實際做完的只是5件。因此，儘管十分位上是7，也不能向前一位進一，而只能把尾數全部去掉。

正解：16÷2.8=5.71……≈5（件）

在我們的現實生活中四捨五入法不一定都可以用上，有時會用到進一法，而有時要用到去尾法。

牛頓法是牛頓在17世紀提出的一種求解方程f(x)=0.多數方程不存在求根公式，從而求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。

設r是f(x)=0的真根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y=f(x)的切線L，L的方程為y=f(x0) +f'(x0)(x-x0),求出L與x軸交點的橫座標 x1=x0-f(x0)/f'(x0),稱x1為r的一次近似值，過點（x1,f(x1)）做曲線y=f(x)的切線，並求該切線與x軸的橫座標 x2=x1-f(x1)/f'(x1)稱x2為r的二次近似值，重複以上過程，得r的近似值序列{Xn},其中Xn +1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),稱為r的n+ 1 ^[3]  次近似值。上式稱為牛頓迭代公式。

[插值法的基本思想和方法]：已知函數y= f(x)在[a,b]上n+1個點x0,x1….xn的函數值y:= f (xi) I=0,1,2,….n,但y= f(x)的確表達式不知道或相當複雜。設法建立一個函數μ(x),使μ(x)=y(i),進一步 μ1(xi)= y1(xi), I=0,1,2,…n-1在實際應用中以 μ(x)替代 f(x)，此即插值法。稱 μ(x)為f (x)的插值函數，稱xi，I=0,1,2,…n,為結點。

在四捨五入法、去尾法、收尾法（進一法）三種方法中，最常用的是四捨五入法。一般地，用四捨五入法截得的近似數，截到哪一位，就説精確到哪一位。