分形

“誰不知道熵概念就不能被認為是科學上的文化人，將來誰不知道分形概念，也不能稱為有知識。”——物理學家惠勒

分形理論是在上世紀70年代由芒德布羅幾乎集一己之力創立的，但其嚴格的數學基礎之一——芒德布羅集，卻是70年代末芒德布羅及布魯克斯、馬蒂爾斯基以及道阿迪、哈伯德、沙斯頓等人幾乎同時分別建立完善的，他們的思想都源自上世紀前葉一些前輩如法圖、萊維、朱利亞的有關思想。

中文文獻中芒德布羅的譯名一直不統一，芒德布羅本人使用的中文名字是“本華·曼德博”，可見於其耶魯大學網站個人主頁照片，為豎排繁體漢字手寫體 ^[1]  。全國科學技術名詞審定委員會在數學、物理學、力學等幾個學科術語的譯名中，使用的都是“芒德布羅” ^[2]  。本華·曼德博（1924－2010，法語原文Benoît B. Mandelbrot），生於波蘭的立陶宛裔猶太家庭，主要成長教育經歷是在法國完成的，後長期在美國工作。如果追求音譯的準確，還應考慮Mandelbrot姓氏最初的來源，這是一個明顯地具有阿什肯那茲猶太姓氏特徵的姓（德語“杏仁”+“麪包”）。

分形現已成為應用極為廣泛的學科。芒德布羅個人風格獨特，對各類看似“無定形”、“不光滑”的“怪東西”皆富有興趣，也正是這樣他才能最終抽象創立出分形這門學科。曼德布羅特來訪過中國大陸一次以上，稱中國文字個個是圖形，與他路數相合（芒德布羅本人習用法語）。中國最早使用分形理論的可能是金屬學界。

現今人們熟悉的分形的著名實例，如用“鏤空”辦法制成的康托爾集、謝爾賓斯基三角形(Waclaw Sierpinski,1882-1969，波蘭數學家)及門格奶酪或稱門格海綿（Menger，1902-1985，為著名經濟學家門格之子），它們的非整數維數是漸增的，分別為0.63、1.58、2.72，而它們長度、面積、體積令人吃驚的皆為0。另一個用“凸起”辦法制作的科赫曲線(H.von Koch,1870-1924，瑞典數學家)，其維數是1.26，它的長度則是無限的，可它圍住的面積卻有限。

分形作為一種數學工具，現已應用於各個領域，如應用於計算機輔助使用的各種分析軟件中。

據芒德布羅教授自己説，fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚，他在冥思苦想之餘偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。此詞源於拉丁文形容詞fractus，對應的拉丁文動詞是frangere（“破碎”、“產生無規碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分數”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，芒德布羅一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規則的、破碎的、分數的。芒德布羅是想用此詞來描述自然界中傳統歐幾里德幾何學所不能描述的一大類複雜無規的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮雲，九曲迴腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花繚亂的滿天繁星等。它們的特點都是，極不規則或極不光滑。直觀而粗略地説，這些對象都是分形。

分形幾何與傳統幾何相比有什麼特點：

⑴從整體上看，分形幾何圖形是處處不規則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠距離觀察，其形狀是極不規則的。

⑵在不同尺度上，圖形的規則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們並不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨機現象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統的。

在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣於整數的維數。分形理論把維數視為分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。

分維的概念可以從兩方面建立起來：一方面，首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的線度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若干個相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個相似的子圖形，其中的指數1、2、3，正好等於與圖形相應的經驗維數。一般説來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有：

a^D=b,D=(ln b)/(ln a)

的關係成立，則指數D稱為相似性維數，D可以是整數，也可以是分數。另一方面，當畫一根直線，如果用0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果用一塊平面來量它，其結果是0，因為直線中不包含平面。只有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值，而這裏直線的維數為1（大於0、小於2）。與此類似，如果畫一個Koch曲線，其整體是一條無限長的線摺疊而成，顯然，用小直線段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是0（此曲線中不包含平面），那麼只有找一個與Koch曲線維數相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數顯然大於1、小於2，那麼只能是小數（即分數）了，所以存在分維。Koch曲線的每一部分都由4個跟它自身比例為1:3的

形狀相同的小曲線組成，那麼它的豪斯多夫維數（分維數）為d=log(4)/log(3)=1.26185950714...

芒德布羅曾經為分形下過兩個定義：

（1）滿足下式條件

Dim(A)＞dim(A)

的集合A，稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數（或分維數），dim(A)為其拓撲維數。一般説來，Dim(A)不是整數，而是分數。

（2）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。

然而，經過理論和應用的檢驗，人們發現這兩個定義很難包括分形如此豐富的內容。實際上，對於什麼是分形，到當下為止還不能給出一個確切的定義，正如生物學中對“生命”也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以説明。對分形的定義也可同樣的處理。

分形一般有以下特質：

在任意小的尺度上都能有精細的結構； 太不規則，以至難以用傳統歐氏幾何的語言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫維數會大於拓撲維數（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）； 有著簡單的遞歸定義。

（i）分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者説它具有精細的結構。

（ii）分形集不能用傳統的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。

（iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統計的自相似。

（iv）一般，分形集的“分形維數”，嚴格大於它相應的拓撲維數。

（v）在大多數令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產生。

上世紀80年代初開始的“分形熱”經久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領域開展應用探索。美國物理學大師約翰·惠勒説過：今後誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。由此可見分形的重要性。

中國著名學者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以説分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。

分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，它的出現，使人們重新審視這個世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美的統一，而且還有其深刻的科學方法論意義。

在傳統的幾何學中，人們研究一個幾何對象，總是習慣於在歐幾里得空間（Rn,Euclidean）對其研究和度量，其中字母n表示空間的維數，通常為整數，如n分別為1、2、3時，對應的空間為線性空間、平面空間、立體空間，在相應的空間中，可以測得幾何對象的長度、面積、體積等。但是大約在1個世紀前，在數學領域，相繼出現了一些被稱為數學怪物（mathematical monsters）的東西，在傳統的Euclid領域，人們無法用幾何語言去表述其整體或局部性質，其中，比較著名的

數學怪物包括：

科赫曲線此曲線在一維下測量任意段長度為無窮大（想象中，考慮到能測量原子的維度）；在二維下測量面積為零

謝爾賓斯基三角形此圖形面積為零

這些數學怪物困擾數學家許多年，直至20世紀，被美國數學家Benoit B. Mandelbrot創立的分形幾何學(fractal geometry)徹底解決。Mandelbrot提出：之所以無法用幾何語言去描述這些數學怪物，是因為在維數為整數的空間中，用維數同樣是整數的“尺子”對其丈量、描述；而維數不應該僅僅是整數，可以是任何一個正實數；只有在幾何對象對應的維數空間中，才能對該幾何體進行合理的整體或局部描述。以上圖的Koch曲線為例，其維數約為1.26，應用同樣為1.26維的尺子對其進行描述，比如取該曲線前1/4段作為單位為1的尺子去丈量這個幾何體，此幾何體長度為4。也正是因其維數介於1維與2維之間，所以此幾何體在1維下長度為無窮大，2維下面積為零。

Fractal這個詞是由Mandelbrot於1975創造的，來源於拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，即為“不規則、支離破碎”的物體。1967年，Mandelbrot在美國《Science》雜誌上發表題目為《英國的海岸線有多長》的劃時代論文，標誌着其分形思想萌芽的出現。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》，1977年，在美國出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形狀機遇和維數》），同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形幾何》），但是這三本書還未對社會和學術界造成太大的影響。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形幾何》）第二版才得到歐美社會的廣泛關注，並迅速形成了“分形熱”，此書也被分形學界視為分形“聖經”。

分形學發展史上的重要里程碑

1883年 Cantor集合被創造

1895年 Weierstrass曲線被創造，此曲線特點是“處處連續，點點不可微”

1906年 Koch曲線被創造

1914年 Sierpinski三角形被創造

1919年 描述複雜幾何體的Hausdorff維問世

1951年 英國水文學家Hurst通過多年研究尼羅河，總結出Hurst定律

1967年 Mandelbrot在《Science》雜誌上發表論文《英國的海岸線有多長》

1975年 Mandelbrot創造“Fractals”一詞

1975年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》

1977年 Mandelbrot在美國出版英文著作《Fractals:Form,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》

1982年 《The Fractal Geometry of Nature》第二版，並引發“分形熱”

1991年 英國的Pergman出版社創辦《Chaos，Soliton and Fractal》雜誌

1993年 新加坡世界科學出版社創辦《Fractal》雜誌

1998年 在馬耳他（Malta）的瓦萊塔（Valletta）召開了“分形98年會議”（5th International Multidisciplinary Conference）

2003年 在德國的Friedrichroda召開了“第三屆分形幾何和推測學國際會議”

2004年 在加拿大（Canada）的温哥華（Vancouver）召開了“分形2004年會議”（8th International Multidisciplinary Conference）

逃逸時間系統：復迭代的收斂限界。例如：Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship分形

迭代函數系統：這些形狀一般可以用簡單的幾何“替換”來實現。例如：康託集合、Koch雪花、謝爾賓斯基三角形、Peano曲線等等。

吸引子：點在迭代的作用下得到的結構。一般可以用微分方程確立。例如：Lorenz吸引子。

科學與藝術的美妙結合——分形藝術

分形誕生在以多種概念和方法相互衝擊和融合為特徵的當代。分形混沌之旋風，橫掃數學、理化、生物、大氣、海洋以至社會學科，在音樂、美術間也產生了一定的影響。

分形所呈現的無窮玄機和美感引發人們去探索。即使不懂得其中深奧的數學哲理，也會為之感動。

分形使人們覺悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美上的統一，使從前枯燥的數學不再僅僅是抽象的哲理，而是具體的感受；不再僅僅是揭示一類存在，而是一種藝術創作，分形搭起了科學與藝術的橋樑。

“分形藝術”與普通“電腦繪畫”不同。普通的“電腦繪畫”概念是用電腦為工具從事美術創作，創作者要有很深的美術功底。而“分形藝術”是純數學產物，創作者要有很深的數學功底，此外還要有熟練的編程技能。

苑玉峯老師認為分形圖像有如下用途：

1、製作成各種尺寸的裝飾畫（用卡紙裝裱，可獲得很好的裝飾畫效果）。

2、用作包裝材料圖案，效果新穎。

3、可以製作成各種尺寸的分形掛曆、枱曆、賀卡等。

4、應用於印染行業。

5、裝點科技館、少年宮、旅遊景點等。

劉華傑博士認為：

1、將高精度分形圖形具體應用在建築設計中，可以考慮將整面牆壁用一幅分形圖裝飾。

2、研究分形建築陶瓷紋樣、分形紡織紋樣設計及其印染工藝。

3、設計分形時裝。

4、將分形圖形用於信息加密防偽。

5、印製分形賀卡、明信片和小枱曆

Ultra Fractal

Visions of Chaos

Fraciant

Incendia

Mandelbulb 3D

Jwildfire

MathStudio（手機軟件）

羅馬花椰菜（RomanescoBroccoli）一小簇是整個花簇的一個分支，而在不同尺度下它們具有自相似的外形。換句話説，較小的分支通過放大適當的比例後可以得到一個與整體幾乎完全一致的花簇。因此可以説羅馬花椰菜花簇是一個分形的實例。

最古老的樸素分形集（幾千年歷史，最簡單的分形集陰陽集），1999年，鄧宇等。

從自相似性看，可追溯到古老的宗教和中醫<<黃帝內經>>等典籍.

陰陽集，分維D=1

五行集，分維D=1.4650

陰陽五行-臟腑（藏象：五臟五腑）的分維D=2.0959.