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康托爾集
鎖定
- 中文名
- 康托爾集
- 外文名
- Cantor set
- 領 域
- 數學
- 引入者
- 格奧爾格·康托爾
- 引入時間
- 1883年
- 發現者
- 亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯
- 發現時間
- 1875年
- 定 義
- 位於一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質
康托爾集引入
通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。
康托爾集康託三分集
取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段，……，將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由於在不斷分割捨棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾點集，記為P。稱為康托爾點集的極限圖形長度趨於0，線段數目趨於無窮，實際上相當於一個點集。操作n次後
[2]
邊長r=(1/3)^n，
邊數N(r)=2^n，
根據公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。
所以康托爾點集分數維是0.631。
康托爾集性質特點
康託三分集中有無窮多個點，所有的點處於非均勻分佈狀態。此點集具有自相似性，其局部與整體是相似的，所以是一個分形系統。
康託三分集具有
（1）自相似性；
（2）精細結構；
（3）無窮操作或迭代過程；
（5）長度為零；
（6）簡單與複雜的統一。
康托爾集P具有三條性質：
1、P是完備集。
2、P沒有內點。
3、P的基數為c。
4、P是不可數集。
康托爾集是一個基數為c的疏朗完備集。
康托爾集三進制理解
在長度為1的直線段中，將所有點按三進制編碼。
即第一次去掉的點，為三進制編碼小數中，第一位小數為1的所有點；同理，第N次操作，就是去掉三進制小數中，第N位為1的點。
最後得到的康托爾集，用三進製表示，就是小數位只有0，2的所有小數。
説明：0.1(3)是康托爾集中的點，但不符合上述描述。在上述描述中，是以0.02（2的循環）表示的。
如果要消除這種循環表示方法，可以定義為：康托爾集，用三進製表示，就是小數位的有效數字最後一位可以為1，2；其他位數只有0，2的所有小數。
康托爾集構造
康托爾集是由不斷標記線段的中間三分之一而得出。首先，從區間(0,1)中標記中間的三分之一[1/3,2/3]，並選取端點1/3、2/3，留下兩條線段：(0,1/3) ∪ (2/3,1)。然後，把這兩條線段的中間三分之一都標記，並選取端點1/9、2/9、7/9、8/9，留下四條線段：(0,1/9) ∪ (2/9,1/3) ∪ (2/3,7/9) ∪ (8/9,1)。把這個過程一直進行下去，其中第n個集合為：
- 參考資料
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- 1. Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)]，Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
- 2. osé Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
