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幾何體

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幾何體(geometric solid)亦稱立體,是立體幾何的基本概念之一。幾何體概念產生於人們對客觀世界中各種物體的數學抽象,當人們只考慮物體的形狀、大小、位置關係等數學性質,而不考慮它的物理的、化學的、生物的、社會的等屬性時,就獲得幾何體的概念,在幾何學中,人們把若干幾何面(平面或曲面)所圍成的有限形體稱為幾何體,圍成幾何體的面稱為幾何體的界面或表面,不同界面的交線稱為幾何體的稜線,不同稜線的交點稱為幾何體的頂點,幾何體也可看成空間中若干幾何面分割出來的有限空間區域,立體幾何首先研究的是一些較簡單的幾何體的幾何性質,如多面體、旋轉體以及它們的組合體等 [1] 
中文名
幾何體
外文名
geometric solid
別    名
立體
所屬學科
數學
所屬問題
立體幾何

幾何體基本介紹

幾何體:(1)當我們只研究一個物體的形狀、大小,而不研究其它的其它性質(如顏色、重量、硬度等)的時候,我們就把這個物體叫做幾何體,簡稱體。例如,圖1中的紙盒和圖2的木塊,雖然它們的顏色、重量、硬度以及製作的材料等不相同,但只要它們的形狀、大小相同,我們就認為它們是完全相等的兩個幾何體。實際上,由於紙盒和木塊的形狀、大小都相同,它們是兩個相同的長方體 [2]  。(2)由平面和曲面所圍成的空間的有限部分,如長方體、正 方體、圓柱體、球體等。
物體的形狀大小有時叫做“空間形式”,幾何體是隻從空間形式的觀點來加以考慮的現實物體。
從運動的觀點,“體”可以看成是由“面”運動所佔有的空間。
圖1 圖1
圖2 圖2

幾何體空間幾何體的三視圖

從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形稱之為三視圖。主要包括主視圖、俯視圖、左視圖三個基本視圖,這是工程界一種對物體幾何形狀約定俗成的抽象表達方式。從物體的前面向後面投射所得的視圖稱主視圖——能反映物體的前面形狀;從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖——能反映物體的上面形狀;從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖——能反映物體的左面形狀。如圖4為圖3的三視圖,圖6為圖5的三視圖。

幾何體基本幾何體的分類

體是由面圍成的。面有平面,有曲面。例如長方體是由六個平面圍成的;球是由一個曲面圍成的;圓柱是由一個曲面和兩個平面圍成的。按構成體的主要元素——面的特點,可以把體分成兩類:
第一類是有曲面參與其中的曲面幾何體,也稱曲面立體,如:圓柱體、球體。
第二類是純由平面圍成的平面幾何體,即由若干個平面多邊形圍成的多面體稜柱體、正方體。

幾何體平面立體

由若干平面圍成的基本幾何體稱為平面立體。平面立體主要有稜柱稜錐兩種。稜柱的稜線互相平行,稜錐的稜線交於一點,稜錐被截頂則形成稜台。平面立體以其稜線數命名,如四稜柱、六稜柱、五稜錐、三稜錐、四稜台等 [3]  。如圖3至圖6所示,圖3、圖4中,稜柱是由稜面和頂面、底面所圍成,相鄰兩稜面的交線,稱為稜線。圖5、圖6中,稜錐是由稜面和底面所圍成,各稜面是有一個公共頂點的三角形。
圖3 圖3
圖4 圖4
圖5 圖5
圖6 圖6

幾何體曲面立體

由曲面或曲面與平面圍成的基本幾何體稱為曲面立體。常見曲面立體有圓柱、圓錐、圓球等。它們的曲表面可以看作是母線繞軸線迴轉而形成的,因此,這類曲面立體又稱為迴轉體,其曲表面稱為迴轉面。
迴轉面的形成
圖7所示為迴轉面的形成過程。圖7(a)表示一條直母線圍繞與它平行的軸線旋轉形成圓柱面;圖7(b)表示一條直母線圍繞與它相交的軸線旋轉形成圓錐面;圖7(c)表示當母線為圓,軸線為其直徑時,母線繞軸線旋轉即形成球面。
圖7(a) 圖7(a)
圖7(b) 圖7(b)
圖7(c) 圖7(c)
素線與輪廓素線
(1)素線:母線在旋轉過程中的每一個具體位置稱為曲面的素線。曲面是素線的集合。
(2)輪廓素線:當曲面立體在三投影面體系中的位置確定後,投影時構成物體輪廓的素線稱為輪廓素線。顯然,當圓柱軸線垂直於H面時,圓柱有四條輪廓素線,其中兩條為正視方向輪廓素線(圓柱面上最左、最右的兩條素線),另外兩條為側視方向輪廓素線(圓柱面上最前、最後的兩條素線)。同理,圓錐面上也有四條輪廓素線;圓球面上有三條輪廓素線,分別為正平最大圓、水平最大圓和側平最大圓。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會.數學辭海 第一卷:中國科學技術出版社 ,2002-08
  • 2.    黃文選,劉夢湘,方金秋.小學教師實用數學辭典:北京科學技術出版社,2002-08
  • 3.    欒蓉,王紅主編.水利工程製圖 第3版:中國水利水電出版社,2016.01:第56頁