數學危機

通過對三個在數學發展中產生了巨大影響的悖論（畢達哥拉斯悖論、貝克萊悖論、羅素悖論）的介紹，讓讀者既能充分了解悖論對數學發展所起到的巨大作用，又能對數學中歐幾里得幾何、無理數、微積分、集合論等的來龍去脈獲得更清晰的認識。 ^[1] 

為了講清楚三次數學危機的來龍去脈，我們首先要説明什麼是數學危機。一般來講，危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的，即便是以“確定無疑”著稱的數學也不例外。

人類最早認識的是自然數。從引進零及負數就經歷過鬥爭：要麼引進這些數，要麼大量的數的減法就行不通；同樣，引進分數使乘法有了逆運算——除法，否則許多實際問題也不能解決。但是接着又出現了這樣的問題，是否所有的量都能用整數之比來表示？於是發現無理數就導致了第一次數學危機，而危機的解決也就促使邏輯的發展和幾何學的體系化。

方程的解導致了虛數的出現，虛數從一開始就被認為是“不實的”。可是這種不實的數卻能解決實數所不能解決的問題，從而為自己爭得存在的權利。

幾何學的發展從歐幾里得幾何的一統天下發展到各種非歐幾何學也是如此。在十九世紀發現了許多用傳統方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數方程不能通過加、減、乘、除、乘方、開方求出根來；古希臘幾何三大問題，即三等分任意角、倍立方體、化圓為方不能通過圓規、直尺作圖來解決等等。

這些否定的結果表明了傳統方法的侷限性，也反映了人類認識的深入。這種發現給這些學科帶來極大的衝擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如説，代數學從此以後向抽象代數學方面發展，而求解方程的根變成了分析及計算數學的課題。在第三次數學危機中，這種情況也多次出現，尤其是包含整數算術在內的形式系統的不完全性、許多問題的不可判定性都大大提高了人們的認識，也促進了數理邏輯的大發展。

這種矛盾、危機引起的發展，改變面貌，甚至引起革命，在數學發展歷史上是屢見不鮮的。第二次數學危機是由無窮小量的矛盾引起的，它反映了數學內部的有限與無窮的矛盾。數學中也一直貫穿着計算方法、分析方法在應用與概念上清楚及邏輯上嚴格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數學家盲目應用。而比較注意嚴密的數學家及哲學家則提出批評。只有這兩方面取得協調一致後，矛盾才能解決。後來算符演算及δ函數也重複了這個過程，開始是形式演算、任意應用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數論的嚴整系統。

對於第三次數學危機，有人認為只是數學基礎的危機，與數學無關。這種看法是片面的。誠然，問題涉及數理邏輯和集合論，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現代數學如果脱離無窮集合就可以説寸步難行。因為如果只考慮有限集合或至多是可數的集合，那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容，也有許多問題要涉及無窮的方法，比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看來，第三次數學危機是一次深刻的數學危機。

從某種意義上來講，現代意義下的數學（也就是作為演繹系統的純粹數學）來源於古希臘的畢達哥拉斯學派。這個學派興旺的時期為公元前500年左右，它是一個唯心主義流派。他們重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文學、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧及規律性。他們認為“萬物皆數”，認為數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實的世界。數學的知識是由於純粹的思維而獲得，並不需要觀察、直覺及日常經驗。

畢達哥拉斯的數是指整數，他們在數學上的一項重大發現是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發現了一些直角三角形的三邊比不能用整數來表達，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。這樣一來，就否定了畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。

不可通約性的發現引起第一次數學危機。有人説，這種性質是希帕索斯約在公元前400年發現的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已經知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發現對古希臘的數學觀點有極大的衝擊，換句話説，如果希帕索斯發現的無理數真的存在，那麼古希臘的數學理論體系就完全崩潰了。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，於是幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。

同時這也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發，經過演繹推理，並由此建立幾何學體系，這不能不説是數學思想上一次巨大革命，這也是第一次數學危機的自然產物。

回顧以前的各種數學，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數學也是從實際出發，應用到實際問題中去的。比如泰勒斯預測日食，利用影子距離計算金字塔高度，測量船隻離岸距離等等，都是屬於計算技術範圍的。至於埃及、巴比倫、中國、印度等國的數學，並沒有經歷過這樣的危機和革命，所以也就一直停留在“算學”階段。而希臘數學則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。

古典邏輯與歐氏幾何學

亞里士多德的方法論對於數學方法的影響是巨大的，他指出了正確的定義原理。亞里士多德繼承自己老師柏拉圖的觀念，把定義與存在區分，由某些屬性來定義的東西可能未必存在(如正九面體)。另外，定義必須用已存在的定義過的東西來定義，所以必定有些最原始的定義，如點、直線等。而證明存在的方法需要規定和限制。

亞里士多德還指出公理的必要性，因為這是演繹推理的出發點。他區別了公理和公設，認為公理是一切科學所公有的真理，而公設則只是某一門學科特有的最基本的原理。他把邏輯規律(矛盾律、排中律等)也列為公理。

亞里士多德對邏輯推理過程進行深入研究，得出三段論法，並把它表達成一個公理系統，這是最早的公理系統。他關於邏輯的研究不僅使邏輯形成一個獨立學科，而且對數學證明的發展也有良好的影響。

亞里士多德對於離散與連續的矛盾有一定闡述。對於潛在的“無窮大”和實在的“無窮大”加以區別。他認為正整數是潛在無窮的，因為任何整數加上1以後總能得到一個新的數。但是他認為所謂“無窮集合”是不存在的。他認為空間是潛在無窮的，時間在延長上是潛在無窮的，在細分上也是潛在無窮的。

歐幾里得的《幾何原本》對數學發展的作用無須在此多談。不過應該指出，歐幾里得的貢獻在於他有史以來第一次總結了以往希臘人的數學知識，構成一個標準化的演繹體系。這對數學乃至哲學、自然科學的影響一直延續到十九世紀。牛頓的《自然哲學的數學原理》和斯賓諾莎的《倫理學》等都採用了歐幾里得《幾何原本》的體例。

歐幾里得的平面幾何學為《幾何原本》的最初四篇與第六篇。其中有七個原始定義，五個公理和五個公設。他規定了存在的證明依賴於構造。

《幾何原本》在西方世界成為僅次於《聖經》而流傳最廣的書籍。它一直是幾何學的標準著作。但是它還存在許多缺點並不斷受到批評，比如對於點、線、面的定義是不嚴格的：“點是沒有部分的對象”，“線是沒有寬度的長度(線指曲線)”，“面是隻有長度和寬度的對象”。顯然，這些定義是不能起邏輯推理的作用。特別是直線、平面的定義更是從直觀來解釋的(“直線是同其中各點看齊的線”)。

另外，他的公理五是“整體大於部分”，沒有涉及無窮量的問題。在他的證明中，原來的公理也不夠用，須加上新的公理。特別是平行公設是否可由其他公理、公設推出更是人所矚目的問題。儘管如此，近代數學的體系特點在其中已經基本上形成了。

非歐幾何學的誕生

歐幾里得的《幾何原本》是第一次數學危機的產物。儘管它有種種缺點和毛病，畢竟兩千多年來一直是大家公認的典範。尤其是許多哲學家，把歐幾里得幾何學擺在絕對幾何學的地位。十八世紀時，大部分人都認為歐幾里得幾何是物質空間中圖形性質的正確理想化。特別是康德認為關於空間的原理是先驗綜合判斷，物質世界必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是必然的。

大家希望公理、公設簡單明白、直截了當。其他的公理和公設都滿足了上面的這個條件，唯獨平行公設不夠簡明，像是一條定理。

歐幾里得的平行公設是：每當一條直線與另外兩條直線相交，在它一側做成的兩個同側內角的和小於兩直角時，這另外兩條直線就在同側內角和小於兩直角的那一側相交。

在《幾何原本》中，證明前28個命題並沒有用到這個公設，這很自然引起人們考慮：這條囉哩囉嗦的公設是否可由其他的公理和公設推出，也就是説，平行公設可能是多餘的。

之後的二千多年，許許多多人曾試圖證明這點，有些人開始以為成功了，但是經過仔細檢查發現：所有的證明都使用了一些其他的假設，而這些假設又可以從平行公設推出來，所以他們只不過得到一些和平行公設等價的命題罷了。

到了十八世紀，有人開始想用反證法來證明，即假設平行公設不成立，企圖由此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如“有兩條線在無窮遠點處相交，而在交點處這兩條線有公垂線”等等。在他們看來，這些結論不合情理，因此不可能真實。但是這些推論的含義不清楚，也很難説是導出矛盾，所以不能説由此證明了平行公設。

從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。

首先，要能從二千年來證明平行公設的失敗過程中看出這個證明是辦不到的事，並且這種不可能性是可以加以證實的；其次，要選取與平行公設相矛盾的其他公設，也能建立邏輯上沒有矛盾的幾何。這主要是羅巴切夫斯基的開創性工作。

要認識到歐幾里得幾何不一定是物質空間的幾何學，歐幾里得幾何學只是許多可能的幾何學中的一種。而幾何學要從由直覺、經驗來檢驗的空間科學要變成一門純粹數學，也就是説，它的存在性只由無矛盾性來決定。雖説象蘭伯特等人已有這些思想苗頭，但是真正把幾何學變成這樣一門純粹數學的是希爾伯特。

這個過程是漫長的，其中最主要的一步是羅巴切夫斯基和波耶分別獨立地創立非歐幾何學，尤其是它們所考慮的無矛盾性是歷史上的獨創。後人把羅氏幾何的無矛盾性隱含地變成歐氏幾何無矛盾性的問題。這種利用“模型”和證明“相對無矛盾性”的思想一直貫穿到以後的數學基礎的研究中。而且這種把非歐幾何歸結到大家一貫相信的歐氏幾何，也使得大家在接受非歐幾何方面起到重要作用。

應該指出，非歐幾何為廣大數學界接受還是經過幾番艱苦鬥爭的。首先要證明第五公設的否定並不會導致矛盾，只有這樣才能説新幾何學成立，才能説明第五公設獨立於別的公理公設，這是一個起碼的要求。

當時證明的方法是證明“相對無矛盾性”。因為當時大家都承認歐幾里得幾何學沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾里得幾何學來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得幾何學中相應的東西，公理和定理也可用相應歐幾里得幾何學的公理和定理來解釋，這種解釋叫做非歐幾何學的歐氏模型。

對於羅巴切夫斯基幾何學，最著名的歐氏模型有意大利數學家貝特拉米於1869年提出的常負曲率曲面模型；德國數學家克萊因於1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函數解釋的單位圓內部模型。這些模型的確證實了非歐幾何的相對無矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創立的橢圓幾何學，另外還可以推廣到高維空間上。

因此，從十九世紀六十年代末到八十年代初，大部分數學家接受了非歐幾何學。儘管有的人還堅持歐幾里得幾何學的獨特性，但是許多人明確指出非歐幾何學和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。當然也有少數頑固派，如數理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認非歐幾何學，不過這已無關大局了。

非歐幾何學的創建對數學的震動很大。數學家開始關心幾何學的基礎問題，從十九世紀八十年代起，幾何學的公理化成為大家關注的目標，並由此產生了希爾伯特的新公理化運動。

早在古代，人們就對長度、面積、體積的度量問題感興趣。古希臘的歐多克斯引入量的觀念來考慮連續變動的東西，並完全依據幾何來嚴格處理連續量。這造成數與量的長期脱離。古希臘的數學中除了整數之外，並沒有無理數的概念，連有理數的運算也沒有，可是卻有量的比例。他們對於連續與離散的關係很有興趣，尤其是芝諾提出的四個著名的悖論：

第一個悖論是説運動不存在，理由是運動物體到達目的地之前必須到達半路，而到達半路之前又必須到達半路的半路……如此下去，它必須通過無限多個點，這在有限長時間之內是無法辦到的。

第二個悖論是跑得很快的阿希裏趕不上在他前面的烏龜。因為烏龜在他前面時，他必須首先到達烏龜的起點，然後用第一個悖論的邏輯，烏龜總在他的前面。這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的。

而第三、第四悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成。

第三個悖論是説“飛矢不動”，因為在某一時間間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。

第四個悖論是遊行隊伍悖論，內容大體相似。這説明希臘人已經看到無窮小與“很小很小”的矛盾。當然他們無法解決這些矛盾。

希臘人雖然沒有明確的極限概念，但他們在處理面積體積的問題時，卻有嚴格的逼近步驟，這就是所謂“窮竭法”。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難證的定理。

到了十六、十七世紀，除了求曲線長度和曲線所包圍的面積等類問題外，還產生了許多新問題，如求速度、求切線，以及求極大、極小值等問題。經過許多人多年的努力，終於在十七世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科，這也就是數學分析的開端。

牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在於：

1，把各種問題的解法統一成一種方法，微分法和積分法；

2，有明確的計算微分法的步驟；

3．微分法和積分法互為逆運算。

由於運算的完整性和應用範圍的廣泛性，微積分成為了解決問題的重要工具。同時關於微積分基礎的問題也越來越嚴重。以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當Δt趨向於零時的值。Δt是零、是很小的量，還是什麼東西，這個無窮小量究竟是不是零。這引起了極大的爭論，從而引發了第二次數學危機。

十八世紀的數學家成功地用微積分解決了許多實際問題，因此有些人就對這些基礎問題的討論不感興趣。如達朗貝爾就説，現在是“把房子蓋得更高些，而不是把基礎打得更加牢固”。更有許多人認為所謂的嚴密化就是繁瑣。

但也正是因此，微積分的基礎問題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是貝克萊主教在1734年的攻擊。

十八世紀的數學思想的確是不嚴密的、直觀的、強調形式的計算，而不管基礎的可靠與否，其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，因此導數、微分、積分等概念不清楚；對無窮大的概念也不清楚；發散級數求和的任意性；符號使用的不嚴格性；不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及可否展成冪級數等等。

一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注於微積分的嚴格基礎。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裏克萊等人的工作開始，最終由魏爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。

波爾查諾不承認無窮小數和無窮大數的存在，而且給出了連續性的正確定義。柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量開始，認識到函數不一定要有解析表達式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，並定義了導數和積分；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；狄裏克萊給出了函數的現代定義。

在這些數學工作的基礎上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的ε - δ的極限、連續定義，並把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上，從而克服了危機和矛盾。

十九世紀七十年代初，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析終於建立在實數理論的嚴格基礎之上了。

同時，魏爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續函數的例子。這個發現以及後來許多病態函數的例子，充分説明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。由此，第二次數學危機使數學更深入地探討數學分析的基礎——實數論的問題。這不僅導致集合論的誕生，並且由此把數學分析的無矛盾性問題歸結為實數論的無矛盾性問題，而這正是二十世紀數學基礎中的首要問題。

經過第一、二次數學危機，人們把數學基礎理論的無矛盾性，歸結為集合論的無矛盾性，集合論已成為整個現代數學的邏輯基礎，數學這座富麗堂皇的大廈就算竣工了。看來集合論似乎是不會有矛盾的，數學的嚴格性的目標快要達到了，數學家們幾乎都為這一成就自鳴得意。法國著名數學家龐加萊（1854—1912）於1900年在巴黎召開的國際數學家會議上誇耀道：“現在可以説，（數學）絕對的嚴密性是已經達到了”。然而，事隔不到兩年，英國著名數理邏輯學家和哲學家羅素（1872—1970）即宣佈了一條驚人的消息：集合論是自相矛盾的，並不存在什麼絕對的嚴密性！史稱“羅素悖論”。1918年，羅素把這個悖論通俗化，稱為“理髮師悖論”。羅素悖論的發現，無異於晴天劈靂，把人們從美夢中驚醒。羅素悖論以及集合論中其它一些悖論，深入到集合論的理論基礎之中，從而從根本上危及了整個數學體系的確定性和嚴密性。於是在數學和邏輯學界引起了一場軒然大波，形成了數學史上的第三次危機。

產生集合論悖論的原因在於集合的辨證性與數學方法的形式特性或者形而上學的思維方法的矛盾。如產生羅素悖論的原因，就在於概括原則造集的任意性與生成集合的客觀規則的非任意性之間的矛盾。

數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。

為了解決第三次數學危機，數學家們作了不同的努力。由於他們解決問題的出發點不同，所遵循的途徑不同，所以在本世紀初就形成了不同的數學哲學流派，這就是以羅素為首的邏輯主義學派、以布勞威爾（1881—1966）為首的直覺主義學派和以希爾伯特為首的形式主義學派。這三大學派的形成與發展，把數學基礎理論研究推向了一個新的階段。三大學派的數學成果首先表現在數理邏輯學科的形成和它的現代分支——證明論等——的形成上。

為了排除集合論悖論，羅素提出了類型論，策梅羅提出了第一個集合論公理系統，後經弗倫克爾加以修改和補充，得到常用的策梅羅——弗倫克爾集合論公理體系，以後又經伯奈斯和哥德爾進一步改進和簡化，得到伯奈斯——哥德爾集合論公理體系。希爾伯特還建立了元數學。作為對集合論悖論研究的直接成果是哥德爾不完全性定理。

美國傑出數學家哥德爾於20世紀30年代提出了不完全性定理。他指出：一個包含邏輯和初等數論的形式系統，如果是協調的，則是不完全的，亦即無矛盾性不可能在本系統內確立；如果初等算術系統是協調的，則協調性在算術系統內是不可能證明的。哥德爾不完全性定理無可辯駁地揭示了形式主義系統的侷限性，從數學上證明了企圖以形式主義的技術方法一勞永逸地解決悖論問題的不可能性。它實際上告訴人們，任何想要為數學找到絕對可靠的基礎，從而徹底避免悖論的種種企圖都是徒勞無益的，哥德爾定理是數理邏輯、人工智能、集合論的基石，是數學史上的一個里程碑。美國著名數學家馮·諾伊曼説過：“哥德爾在現代邏輯中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超過了紀念碑，它是一個里程碑，在可以望見的地方和可以望見的未來中永遠存在的紀念碑”。

時至今日，第三次數學危機還不能説已從根本上消除了，因為數學基礎和數理邏輯的許多重要課題還未能從根本上得到解決。然而，人們正向根本解決的目標逐漸接近。可以預料，在這個過程中還將產生許多新的重要成果。