第二次數學危機

這次危機的萌芽出現在大約公元前450年，芝諾注意到由於對無限性的理解問題而產生的矛盾，提出了關於時空的有限與無限的四個悖論：

“兩分法”：向着一個目的地運動的物體，首先必須經過路程的中點，然而要經過這點，又必須先經過路程的1/4點……，如此類推以至無窮。——結論是：無窮是不可窮盡的過程，運動是不可能的。

“阿基里斯追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達烏龜的出發點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。

“飛矢不動”：意思是箭在運動過程中的任一瞬時間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處於運動狀態。

“操場或遊行隊伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的c來看，比如説A、B都在1小時內移動了2公里，可是從A看來，則B在1小時內就移動了4公里。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。 ^[1] 

芝諾揭示的矛盾是深刻而複雜的。前兩個悖論詰難了關於時間和空間無限可分，因而運動是連續的觀點，後兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對數學的，但是它們在數學王國中卻掀起了一場軒然大波。它們説明了希臘人已經看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其後果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。 ^[2] 

經過許多人多年的努力，終於在17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者，他們的功績主要在於：把各種有關問題的解法統一成微分法和積分法；有明確的計算步驟；微分法和積分法互為逆運算。由於運算的完整性和應用的廣泛性，微積分成為當時解決問題的重要工具。 ^[2] 

在微積分大範圍應用的同時，關於微積分基礎的問題也越來越嚴重。關鍵問題就是無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數學危機。

無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年説它是一種常量；1671年又説它是一個趨於零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋樑。

英國大主教貝克萊於1734年寫文章，攻擊流數（導數）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數的人，是不會因吞食了神學論點就嘔吐的。”他説，用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，“是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結果”。貝克萊雖然也抓住了當時微積分、無窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問題，不過他是出自對科學的厭惡和對宗教的維護，而不是出自對科學的追求和探索。

當時一些數學家和其他學者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎。例如，羅爾曾説：“微積分是巧妙的謬論的彙集。”在那個勇於創造時代的初期，科學中邏輯上存在這樣那樣的問題，並不是個別現象。

18世紀的數學思想的確是不嚴密的、直觀的，強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發散級數求和的任意性等等；符號的不嚴格使用；不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等。 ^[2] 

直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注於微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裏赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康託的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。

波爾查諾給出了連續性的正確定義；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量出發，認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量；並且定義了導數和積分；狄裏赫利給出了函數的現代定義。在這些工作的基礎上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，並把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。

19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康託等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。 ^[2] 

這次危機不但沒有阻礙微積分的迅猛發展和廣泛應用，反而讓微積分馳騁在各個科技領域，解決了大量的物理問題、天文問題、數學問題，大大推進了工業革命的發展。就微積分自身而言，經過本次危機的“洗禮”，其自身得到了不斷的系統化，完整化，擴展出了不同的分支，成為了18世紀數學世界的“霸主”。

同時，第二次數學危機也促進了19世紀的分析嚴格化、代數抽象化以及幾何非歐化的進程。 ^[3] 

關於第二次數學危機，自其爆發開始直到二十一世紀，始終都存在着不同意見。著名的數學家歐拉就堅持認為在求導數的運算中,其結果應該是0/0。他舉例説,如果計算地球的數值,則一顆灰塵、甚至成千上萬顆灰塵的誤差都是可以忽略的。但是在微積分的運算中,“幾何的嚴格性要求連這樣小的誤差也不能有。” ^[4]  馬克思在他的《數學手稿》中説得更明確:求導數的運算的結果應該是嚴格的、特定的0/0,批判了所謂“無限趨近”的説法。 ^[5]  同時也有言論稱，該危機在二十世紀前的數學研究體制下無法徹底解決。 ^[6]