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極限論
（微積分的極限論）
鎖定
- 中文名
- 極限論
- 外文名
- theory of limitation
- 所屬學科
- 數學（微積分）；經濟學
- 相關概念
- 無窮小，極限，微積分等
- 相關人物
- 維爾斯特拉斯；米都斯等
極限論基本介紹
極限論是數學分析的基礎，它研究極限的性質及極限存在的條件，建立求極限的法則，通過這些法則能夠利用某些簡單的變量的極限求出這些量的簡單函數的極限。
極限論的基礎是無窮小量的概念，也就是極限為0的變量，變量
以常數
為其極限的充要條件是差
是無窮小量，若變雖
趨向於極限a且
，則從某一種時刻起， 其所有值都大於p(小於q)，變量
不能同時有兩個不同的極限。
極限論中有一系列關於簡化求極限過程的定理。若
和
對於所有的n都有
，而
和
都有有窮極限
，則a≥b。若
，且存在極限
，則
亦有相同的極限，即
。
對於變量
可以實行算術四則運算，若存在有窮極限
(且b≠0)，則存在有窮極限
。若
或
， 則分別有
和
，若兩序列同時趨向於0或
，則分別稱
為不定型
和
，要確定不定型，也就是確定
的極限，可以採用不同的方法，最一般而簡便的方法是洛必達法則。
若
，而
，則
是
型不定型，若
，則其差的極限
叫做
型不定型。
極限論還建立了極限存在準則(收斂準則)，若
單調不減
，並有上界
，則
存在(若
無上界，則當
時
)，對於單調不增而有下界的序列亦有類似結論。在一般情況下，序列xn有有窮極限的充要條件是對於任意小的ε>0，存在着正整數N，當n>N，n'>N時，不等式
成立(柯西-波爾查諾定理)，換句話説， 當變量xn的角碼增大時，其值就彼此無限地接近起來。
在極限論中還研究序列
，其中各項是從已知的xn中取出的， nk——遞增的某自然數序列：
這裏取所有自然數值的角碼已不是n， 而是k；當
時，
，這個序列
叫做部分序列。
若原序列有極限，則其部分序列亦有相同的極限，對於任一有界序列總可以找出具有有窮極限的部分序列(波爾查諾-維爾斯特拉斯原理)，這個極限稱為已知序列的部分極限(或聚點)，總存在有最大的部分極限(
和最小的部分極限(
)，若
，則xn有極限(通常意義下的極限)，它們的相同的值就是極限值。
上述關於變量xn(數值序列)的所有基本概念都可以推廣到函數上去。當
時
的充要條件是：對於以a為極限的任一數值序列
，所對應的函數值序列，即數值序列
，…有其自己的極限b。
古希臘的學者們曾運用極限過程求各種圖形的面積，雖然那時還沒有“極限”這個術語，極限論是17世紀開始建立的，符號lim是牛頓引入的(1686)，他為了流數方法而發展了極限論，單調序列極限的概念是由法國數學家達蘭貝爾建立的，近代極限論是建立在波爾查諾-柯西準則(1817)基礎上的，現代的極限的
定義是由德國數學家維爾斯特拉斯給出的(1880)
[2]
。
微積分概念的基本原理屬於無窮小問題，但並非“無窮小”世界的全部，如果已經認清了無窮小，自然對建立微積分遊刃有餘，反之，若僅從微積分概念的需要出發，則並不需要完全地認清“無窮小”，只需極限論即可。
亦即無窮小認識對於建立微積分的需要來説是充分的，但並非必要，當然，這點只是個認識性結論，僅是建立在實際觀察基礎上的，並沒有嚴格的邏輯證明，事實上，從當初極限論的誕生能折服整個科學界這點，加上逾一個世紀的科學實踐檢驗，我們有理由相信，它對於微積分學的基礎來説已是足夠的，因此單純從微積分角度説，極限論應該是值得肯定的。
但我們這裏是以完全地認識“無窮小世界”為目標，那麼，在此標準下即可發現，極限論是不能代替無窮小認識的，因而相對來説，它是有缺陷的。
極限論極限論的優越性
1．極限論給出了又一種用有限去表述無窮的方法
週期是自然界廣泛存在的一種典型的用來表現無窮的有限形式，因此其理論也十分重要且廣泛。那麼，極限論包括無窮級數形式研究可算是另一種用有限來表徵無窮的形式，甚至還是用以獲得無窮結論的手段。這是十分了不起的。
2．極限論帶來了微積分方法的“算術化”
由於極限的(公理化)定義來得簡練而確切，致使由它建立起來的微分、積分定義也來得簡練明快，沒有繁複之感，以致整個微積分方法之容易掌握和運用，被科技界公認為“算術化”了的方法，它完全可以被列為算術第九則、十則運算，歸根結底這是極限概念之簡練性獲得的效果。
3．極限論在微積分學上的實用效果是成功的
因為百餘年來甚至説300餘年來對微積分學激烈的研究，已經是對極限定義的一個嚴格檢驗過程。或可以説，幾百年來，微積分學已被研究得相當成熟，儘管今天在初等微積分範圍內還有論文，但已看不到突破性、基礎性成果了，一個學科能達到這種狀態已算是成熟的了，但是，卻一直未發現在微積分意義下極限概念有什麼不足。
