微分法

在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變量的改變量

映射到變化量的線性部分的線性映射

。這個映射也被稱為切映射。給定的函數在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。

在數學中，微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。當某些函數

的自變量

有一個微小的改變

時，函數的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變量的變化量

，可以表示成

和一個與

無關，只與函數

及

有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在

上的值。另一部分是比

更高階的無窮小，也就是説除以

後仍然會趨於零。當改變量

很小時，第二部分可以忽略不計，函數的變化量約等於第一部分，也就是函數在

處的微分，記作

或

。如果一個函數在某處具有以上的性質，就稱此函數在該點可微 ^[1]  。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微，便稱函數在該點不可微。

微分法定義如下：

設函數

在某區間

內有定義。對於

內一點

，當

變動到附近的

（也在此區間內）時，如果函數的增量

可表示為

（其中

是不依賴於

的常數），而

是比高階的無窮小，那麼稱函數

在點

是可微的，且

稱作函數在點

相應於自變量增量

的微分，記作

，即

，

是

的線性主部。

通常把自變量

的增量

稱為自變量的微分，記作

，即

。

（函數在一點的微分，其中紅線部分是微分量

，而加上灰線部分後是實際的改變量

。）

設

是曲線

上的點

在橫座標上的增量，

是曲線在點

對應

在縱座標上的增量，

是曲線在點

的切線對應

在縱座標上的增量。當

很小時，

比

要小得多(高階無窮小)，因此在點

附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段 ^[2]  。

和求導一樣，微分有類似的法則，例如，如果設函數

、

可微，那麼：

1)

2）

3）

，

4）若函數

可導，那麼

。

如果説微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。微分函數對每個點

給出一個近似描述函數性質的線性映射

，而微分形式對區域

內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式：

。在座標記法下，可以寫成：

其中的

是

-射影算子，也就是説將一個向量

射到它的第

個分量

的映射。而

是滿足：

的k-形式。

特別地，當

是一個從

映射到

的函數時，可以將

寫作：

正是上面公式的一個特例。