四個悖論

在現實生活中我們都可以清清楚楚地知道，奧運會短跑冠軍是可以輕鬆追上在距離上領先自己的烏龜的，哪怕烏龜提前跑上幾分鐘。但芝諾悖論卻告訴我們：門兒都沒有，哪怕二者同時出發。這又是為什麼呢？

既然在常識世界中不可能發生這樣的“怪事”，那問題肯定出在論證上。而這一論證的過程是天衣無縫的，阿喀琉斯追不上烏龜在邏輯上是完全可以成立的。那麼問題肯定出在該邏輯推理得以出發的前提上。這個前提是：時間和距離都是無限可分的。而奧妙在於：無限的部分等於無限的全體。由於把時間和距離看成是“一段一段”的，人們不是在度過時間和跑過距離，而是度過一個個時間段及跑過一個個距離段，並且由於時間和距離的無限可分性，一段時間和一段距離無所謂長短（一秒鐘、五分鐘也好，一公分、一百米也罷）都包含着同樣的——無限的——時間段和距離段，於是乎芝諾悖論當然可以成立，阿喀琉斯當然追不上烏龜。因為二者一同起跑，總是會跑過同樣的時間段，而烏龜仁兄跑的距離再短，也和阿老弟跑過同樣的——無限的——距離斷，而要阿喀琉斯追上烏龜則要求他在同樣的時間內跑過更多的——比無限還多的——距離斷，這當然不可能。

由於常識世界中不可能發生這樣的事，理性在這裏顯得很“矯情”，常識似乎優於理性。然而大大不然。我們在常識世界形成的感性直觀告訴我們過直線外一點只能做一條平行線，事實上歐式幾何的公理都是在常識上“無可置疑的”，因而才被稱為公理。但非歐幾何告訴我們這些公理遠遠談不上是唯一正確的“公理”，貝氏幾何告訴我們平行線可以相交，黎氏（黎曼）幾何則根本否認平行線的存在。而愛因斯坦的相對論告訴我們空間恰恰是黎曼空間！體積有大小而且可以膨脹的無限！從常識的角度看是多麼難以理解啊！但事實的真相如此！而此時我們再想一想芝諾的烏龜給阿老弟的教訓，芝諾的先知先覺真是令人震驚！可以説展現了理性無限宏偉的力量（多少有些誇張）！順便説一句，宇宙是沒有中心沒有邊界的，也就是説我們所看到的紅移現象——也就是所有的星系都以我們為中心離我們遠去——在宇宙盡頭的人們（如果在哪兒有外星人的話）看來同樣如此，這一點可以為哈勃望遠鏡所輕鬆證實。

由此看來：

1、人們在常識世界中形成的感性直觀是大有問題的，不能成為支撐真理的“阿基米德點”！這很令人震驚，也是現代哲學的出發點之一。

2、在當代理解無限再也不能靠哲學玄想，只能依靠科學、依靠嚴密的數學模型，否則就要鬧大笑話。

3、要解決芝諾的四個難題，必須具有連續、極限和無限幾何等抽象概念

一個物體在通過某段路程之前，必須先通過這段路程的一半，但在跑完一半之前又必須跑完四分之一，依次類推可至無窮。所以既然這種步步緊縮是無窮的，運動就基本沒有可能，否則這個物體就必須在有限的時間內通過無限個分段了。

全希臘跑得最快的阿基里斯永遠追不上慢慢爬行的烏龜。因為，他要追上龜，首先就要到達龜所爬行的出發點，這時龜已經往前爬行了一段；當阿基裏跑到龜的第二個出發點時，龜又爬行了一小段，阿基裏又得趕上這一小段，以至無窮。阿基裏只能無限地接近，但永遠不能趕上它。所以，假如承認有運動，就得承認速度最快的趕不上速度最慢的。 ^[1] 

飛着的箭在不同的時間處於不同的位置，甲時在A點，乙時在B點，在連續的時間中，箭相繼地靜止在一系列的點上。既然是在某一點上，怎麼能運動呢？運動實際上是一系列靜止的總和。

假定空間和時間由點和瞬間組成，設有三個互相平行的點列A、B、C。另C往右移動，A往左移動，其速度相對於B而言，都是每瞬間移動一個點，這樣一來，A上的每點就在每瞬間離開C兩個點的距離，因而我們可以對這一最小的時間區間再進行分割，上述步驟可以重複進行以至無窮。結果時間就不可能由瞬間組成。

這四個悖論的結論是錯誤的，是形而上學的，但悖論本身在認識史、辯證法史、邏輯史和科學史上卻有重要地位。這四個悖論涉及到運動和時間、空間的關係以及極限和無限分割的問題，還接觸到運動本身存在連續性與非連續性的矛盾，所以歷來受到科學家和哲學家的重視。

對於兩分法或阿基里斯問題，邏輯上並無困難，問題只在於我們缺乏那種憑感性印象去理解無窮收斂級數性質的想象力，這種級數對於精確説明連續性十分重要，但在我們模糊的連續性觀念中卻不會牽涉到它。

飛箭問題全然是一個導數概念問題，運用這一概念，問題就迎刃而解。這個疑難中的論證，也同競走問題一樣，涉及一段距離或一段時間的間隔都包含着無窮多個部分這一假定。數學分析已經證明，無窮集合的概念不是自相矛盾的，這裏的困難也像前面兩個困難一樣，是由於不能直觀地看出連續統和無窮集合的性質。