病態函數

牛頓和萊布尼茲發明微積分後的200年間，直到19世紀末還是安全的，19世紀的數學界的流行觀念是“連續函數必定可微”，相應的函數一般都應該有導數，可微性是指可以逐點計算曲線的斜率，它是微積分的核心特徵。自從微積分發明之日起，就有人認為，由於該學科與運動和量的增長緊密聯繫，因此一個函數的連續性就足以保證導數的存在了。極限是微積分的基本概念，但在微積分嚴密化的進化過程，極限概念一直都缺少精確的表達形式，因為它是建立在幾何直覺基礎之上的。對微積分嚴密化作出最偉大貢獻的法國數學家柯西把極限定義成了清楚而確定的算術概念而非幾何概念，柯西的極限定義運用了數、變量以及函數的概念，而不是運用幾何與動力學直覺，之後柯西又定義了令數學家糾結了近兩千年的無窮小概念。

確立了極限、無窮小和無窮大的概念之後，柯西就能夠定義微積分的核心概念導數了。柯西使導數成為微分的核心概念，然後微分就可根據導數來定義。這樣，柯西給予了導數和微分概念一種形式上的精確性，使微積分的基本概念得到了嚴密的闡述。由於這個原因，柯西被看做是近代意義上的嚴格微積分的奠基者。通過極限概念精確的定義，柯西建立了連續性和無窮級數的理論以及導數、微分和積分的理論。但是柯西的描述裏還是有某些細微的邏輯缺陷，一個是無窮集合的概念，一個是數的概念，這由後來的康托爾的努力才進一步完善。此外，在柯西的概念中，變量趨近於一個極限的概念喚起了運動和量的生成的模糊直覺。所以，儘管柯西賦予微積分目前的一般形式，以極限概念為基礎，但是微積分嚴密性的真正權威論述還沒有給出。19世紀數學家“現代分析之父”魏爾斯特拉斯(Karl Weierstrass)登場了。

魏爾斯特拉斯認為柯西的一個變量趨近於一個極限的説法，隱含着連續運動的直覺，魏爾斯特拉斯非常清楚直覺是不可信的，他嘗試以嚴密和精確的形式作為分析學基礎，並且完全獨立於所有幾何直覺。1872年，魏爾斯特拉斯向柏林科學院報告了數學分析史上著名的一個反例——一個處處連續，但處處不可微的三角函數級數，即著名的魏爾斯特拉斯函數，魏爾斯特拉斯函數是一種無法用筆畫出任何一部分的函數，因為每一點的導數都不存在，畫的人無法知道每一點該朝哪個方向畫。魏爾斯特拉斯函數的每一點的斜率也是不存在的。魏爾斯特拉斯用這個“反常”函數來説明用直覺為指導、通過運動來定義的連續曲線，不一定就會有切線。為了保證邏輯的正確性，魏爾斯特拉斯希望把微積分只建立在數的觀念上，由此將它完全與幾何分開。將魏爾斯特拉斯函數在任一點放大，所得到的局部圖形和整體圖形相似。因此，無論如何放大，函數圖像都不會顯得更加光滑，也不存在單調的區間。魏爾斯特拉斯與柯西將導數和積分的定義結合在一起，為微積分的基本概念提供了一種精確性，這種精確性構成了對微積分的嚴密闡述。但就是這個“去幾何化”的反例和特例，在近一個世紀後，開啓了一個全新的幾何時代。魏爾斯特拉斯函數可以被視為第一個分形函數，儘管這個名詞當時還不存在 ^[2]  。

病態函數是指在某一方面表現出奇特性質的函數，因為它們具有其他函數不具備的性質，故經常用來作為反例。無論是在微積分理論本身的發展過程中，還是在微積分的教學中，病態函數都起着重要的作用，下面介紹微積分中4 個著名的病態函數：Dirichlet 函數、Cauchy 函數、Riemann 函數和Weierstrass 函數。這些函數在微積分的發展歷史中曾起過重要的作用，直到今天，其中一些函數無論在理論還是在實際中仍然有重要的應用 ^[1]  。

函數是微積分研究的基本對象，它的定義看似平淡無奇，但事實上,從其起源到成熟，經歷了一個漫長的過程。在17世紀的Newton和Leibniz時代，微積分研究的主要是幾何曲線(應該和Euclid所產生的深遠影響有關)，而且Leibniz首先使用函數這個名詞描述曲線的一個相關量，到了18世紀，Euler使人們把注意力從曲線轉移到函數，Euler首先區分了常量與變量，並給出了函數的定義：變量的函數是由變量與常量以任何方式構成的解析表達式，這些思想對於曲線來説是一種巨大的進步，但其定義需要通過解析表達式，即公式表示函數。這一定義使得我們現代所接觸到的一些函數不能被稱為函數，再後來，Euler對函數的定義作了改進，如果某些量以如下方式依賴另一些量：當後者變化時，前者也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函數。

19 世紀初，Fourier在研究弦振動和熱擴散問題時把函數的Euler定義進行了擴展，指出函數可以在定義域任意取值，但若要理解一個真正“任意”函數的概念，那麼必須有人給出一個這樣的函數，Dirichlet 函數就出現在此背景下，因此可以説，該函數的出現,是函數概念正式形成的標誌，它的定義如下，

其中c和d是兩個不相等的實數(最常見的情況是

這時它是有理數集的特徵函數)。

Dirichlet 函數有一些重要的性質，例如不能畫出該函數的圖像；它是週期函數，卻沒有最小正週期；它在實數集上處處有定義，但處處不連續；可以用它來構造本身非Riemann 可積但其絕對值函數卻可積的例子。這些奇特性質以及由其構造的一些反例對積分理論的發展曾起着重要的促進作用。

在微積分的發展初期，即18 世紀，還沒有嚴格的極限理論，雖然當時許多傑出的數學家如Euler等用微積分這一全新的工具解決了許多在過去被認為是高不可攀的難題，但同樣也發現了一些解釋不清的矛盾(這稱為第二次數學危機 )。許多數學家試圖解決上述矛盾並建立微積分嚴格的基礎，其中Lagrange 曾提出一種方案，用函數的無窮級數(冪級數) 來定義導數(這與現代的觀點恰好相反)，從而把無窮級數作為微積分的基礎。但是，Lagrange的這一想法最終被證明是不可行的，因為Cauchy在1822年給出了一個反例，即如下定義的函數，

Cauchy函數C(x) 有一個奇特的性質，它在x = 0處可以展開為冪級數，但這個冪級數卻不是收斂到C(x)，這也就是説，如果我們從函數C(x) 開始，將它寫成級數的形式，最終卻得到一個完全不同於開始的函數，因而Lagrange的設想也就不是普遍有效，因而不能實現。當然，現在我們都知道，微積分的基礎是建立在Cauchy所提出的嚴格的極限理論之上的(這一定義後來被Weierstras符號化)。那麼有人可能要問，在什麼條件下，一個函數在某點的冪級數一定收斂到這個函數本身呢?答案是該函數在這個點是實解析的。反過來也就是説，Cauchy 函數在0點不是實解析的 ^[1]  。

前文已指出,Cauchy提出了極限的嚴格定義，這是他對微積分的重要貢獻之一。不但如此，他還以此為出發點，用極限給出了微積分中的其他重要概念如連續函數、導數以及積分的定義，這在微積分的發展過程中是具有劃時代意義的。特別是積分的定義，在Cauchy之前，積分一直被認為是微分的逆運算而在微積分的概念中處於次要位置。Cauchy是第一個把積分作為一個獨立的概念並用分割區間的方法來定義的人。他的定義使得在兩個關鍵問題上再無懸念：積分是一種極限,積分的存在同微分無關，然而，應該指出，Cauchy 關於積分的定義遠非完美，因為他的定義僅適用於連續函數或至多有有限多個不連續點的函數。對這一定義進行推廣的是Riemann。他僅假定函數在某一閉區間上是有界的，對這樣的函數提出了他的積分定義，並給出了一個函數在該定義下可積的充分必要條件。因為事先關於函數的連續性沒有做任何假設，因此暗示着某些奇特的函數，比如非常不連續的函數也許是可積的(在他的定義下)。Riemann確實給出了這樣一個函數，其定義如下，

其中

表示實數

與和它距離最近的整數n之差，即

。

可以證明，函數

在任意有限的區間內具有無限多不連續點，因而可以説是“高度不連續”的然而，同樣可以證明，該函數在閉區間[0，1] 上是Riemann 可積的。這就説明，Riemann關於積分的定義，確實比Cauchy的定義適用性更廣，是它的推廣.另外，這個病態函數的出現還引發了另一個問題，即一個函數為了Riemann可積，可以不連續到何種程度?對這一問題的探討持續了一個多世紀，到了20世紀初，才由Lebesgue給出了完美而且簡潔的答案：一個在閉區間

上有界的函數

在

上Riemann可積的充分必要條件是

在

上幾乎處處連續 ^[1]  。

我們知道，一個可微的函數必定是連續的，人們曾經認為連續函數必定存在可導點，而且除了某些孤立的點外，其餘都是可微的，例如大名鼎鼎的Ampere還曾經“證明”過這樣的結論。事實上，在19 世紀前半期，微積分的教科書都支持這種見解"。然而，Weierstas函數的出現完全扭轉了這一局勢該函數發表於1860年前後，其定義如下，

其中

是一個奇數，b是嚴格介於0與1之間的一個常數且滿足

。這個看起來奇怪的函數有一個更為奇怪的性質：它在整個實數集上處處連續，但處處不可微。可以想象，Weiestass函數的出現在當時引起多麼大的震驚，它的出現，把幾何直觀作為微積分可靠基礎的主張逐出了歷史舞台。分析學的嚴格性因Cauchy 而提高，又因Weierstass而達到一個新的頂峯。

當然，處處連續但處處不可導的函數遠不止Weiersrass函數一個(但它卻是第一個，也是最著名的一個)。1930年，Van der Waerden給出了另一個(較為簡單)例子。另外，1918年，Wiener給出了Brown運動的數學理論，結果表明Brown運動的樣本軌道就是處處連續但處處不可微的函數。也許有人會問，這些性質奇特的函數除了給出一個反例外，是否還有別的應用? 答案是肯定的。因為20世紀末的數學家們發現，Brown運動可以用來刻畫期權的價格波動(這一發現於1997年獲得了諾貝爾經濟學獎)。粗略地説，期權的價格是隨時間變化的函數，就是處處連續又處處不可微的 ^[1]  。