取整函數

記對應法則

為

取整函數y=[x]的圖象(2張)

顯然，

是定義在全體實數集

的函數，而函數值是離散的。這個函數即為取整函數。為了方便，用

表示不超過

的最大整數，所以函數

又可記為

一般地，有

函數圖形見右。

【階梯曲線】

即取整函數的在定義域

，值域

的圖形，

在為整數值處，圖形發生跳躍，越度為

.

性質1 對任意

，均有

.

性質2 對任意

，

的值域為

.

性質3 取整函數(高斯函數)是一個不減函數，即

.

性質4 若

，則有

,

.後一式子表明

是一個以任意非零整數為週期的週期函數.

性質5 若

,則

.

性質6 若

，則

.

性質7 若

，則在區間

內,恰好有

個整數是

的倍數.

性質8 設p為質數,n∈N+,則p在n!的質因數分解式中的冪次為

p(n!)=[n/p]+[n/p²]+….

取整函數與微積分有着緊密聯繫，它在科學和工程上有廣泛應用。