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上同調運算
鎖定
上同調運算(cohomology operations)作用在上同調羣上的一種自然變換,它是代數拓撲學中的一個重要工具。在同調論中,上同調是對一個在上鍊復形(co-chain)上定義一個阿貝爾羣的序列的過程的統稱。換言之,上同調是對“上鍊”、餘圈(cocycle)和上邊緣(coboundary)的抽象研究。上同調可以看作是一種對拓撲空間賦予代數不變量的方法,但其代數結構比同調更為精煉。上同調源於同調的構造過程的代數對偶。通俗意義上講,上鍊的基本意義是為同調的鏈賦予某種“量”。
上同調運算包括艾達爾上同調(Étale cohomology),德拉姆上同調(de Rham cohomology),李代數上同調,伽羅瓦上同調,霍赫希爾德同調。
- 中文名
- 上同調運算
- 外文名
- cohomology operation
- 所屬學科
- 代數拓撲
上同調運算定義
上同調運算相關概念
上同調運算分類
上同調運算艾達爾上同調
在數學中,一個代數簇或概形的艾達爾上同調(Étale cohomology)是一個與一般拓撲空間的有限係數上同調羣類似的代數結構。這一概念作為證明韋伊猜想的工具由亞歷山大·格羅滕迪克引入。艾達爾上同調的理論可以用於構建ℓ進上同調,後者則是代數幾何中韋伊上同調理論的一個例子。這一理論有着眾多的應用,包括Weil猜想的證明以及李型有限單羣的表示的構造。
上同調運算目的
對於復代數簇,代數拓撲中的某些不變量(例如基本羣和上同調)是非常有用的,因此自然地我們希望為其他域(例如有限域)上的代數簇也定義類似的概念。(特別地,韋伊指出了這樣的上同調理論可以用於證明韋伊猜想。)對於凝聚層的上同調,塞爾指出僅利用代數簇上的扎里斯基拓撲就可以進行定義,而且在復代數簇的情況下,這樣的定義可以與(更細緻的)複數拓撲導出相同的上同調羣。但是,對於常值層(例如整數層),這樣的定義則不適用,因為使用扎里斯基拓撲定義的上同調羣效果不佳。例如,韋伊希望可以為有限域上的簇構造一個上同調理論,使其擁有與拓撲空間的奇異上同調有類似的效力;但實際上,任何不可約簇上的常值層都有着平凡的上同調羣(所有高階上同調羣都是平凡的)。
扎里斯基拓撲之所以不適用,是因為它過於粗糙:它包含的開集過少。另一方面,為任意的代數簇賦予更細緻的拓撲似乎也並不可行。格羅滕迪克的創見則在於認識到廣義的開集並不需要是代數簇的子集:層的定義並不需要限制於開子集範疇,事實上它對於任何範疇都一樣適用。於是,格羅滕迪克將開子集範疇替換為艾達爾態射範疇,並由此定義了艾達爾上同調。粗略地來説,艾達爾態射可以被看作空間的有限非分支覆蓋上的開集。這樣的構造,(經過大量的工作之後),被證明提供了恰好足夠多的開集,使得常係數上同調羣(特別地,對於
,其中n與域特徵互質)有良好的性質。
一些基本的直觀理解如下:
- 若隱函數定理在代數幾何中為真,則艾達爾條件可被看作該定理的前提。(注意隱函數定理在一般的代數幾何中並不為真)
上同調運算定義
令
為一個概形之間的態射,
為一個Y-概形,J為一個Z上的冪零理想層(nilpotent sheaf of ideals),
為
所確定的閉浸入。我們稱
是形式艾達爾的,若對於所有的Y-態射
,都存在唯一的Y-態射
使得
。我們稱
是局部有限表示的,若對於
的每一點
, 都有一個
的鄰域
和
的鄰域
使得
而且
是一個
上的有限表示代數(即,前者可被看作後者的一個有限多項式環約去一個有限生成理想所得到的商代數)。一個形式艾達爾且局部有限表示的態射被稱為一個艾達爾態射(Étale morphism)。等效地,一個平坦(flat)且非分歧(unramified)的態射是一個艾達爾態射(參見:概形論術語)。
對於任何一個概形
,令
表示其全部艾達爾態射組成的範疇。注意到它與概形的關係類似於開子集範疇與拓撲空間的關係,而該範疇的對象則可以被(非正式地)看成是X的“艾達爾開子集”。拓撲空間中兩個開集的交集則可以看成兩個艾達爾態射的拉回。稍微需要注意的一點細節是
並非是一個小范疇;但是因為艾達爾態射是局部有限表示的,將其視作小范疇亦無妨。
令X為諾特概形。若一個X的阿貝爾艾達爾層被X的一個艾達爾覆疊所表示,則我們稱其為有限局部常值的。若X可被有限個子概形覆蓋,且F在每個子概形上都是有限局部常值的,則稱F為可構造的。若對於任何X的艾達爾覆疊U,
都是撓羣,則稱F為撓的。自然地,有限局部常值的層都是可構造的,而可構造層都是撓的。每一個撓層都是一個可構造層的濾子歸納極限。
上同調運算性質
大致上,ℓ進上同調羣與複數簇的奇異上同調羣有類似的性質,區別在於前者是ℓ進數(或ℓ進有理數)的模而後者是整數(或有理數)的模。在非奇異射影簇上,龐加萊對偶性成立,且複數簇的“模p約化”的ℓ進上同調羣與奇異上同調羣多數情況下有同樣的秩。Künneth公式同樣也成立。
例如,一個復橢圓曲線的第一上同調羣是一個秩為2的整數自由模,而一個有限域橢圓曲線的第一ℓ進上同調羣則是一個秩為2的ℓ進數自由模(只要ℓ不是該有限域的特徵),而且後者與泰特模對偶。
ℓ進上同調羣在一個意義上優於奇異上同調羣:前者往往受伽羅瓦羣作用。例如,若一個複數簇在有理數上定義,則其ℓ進上同調羣受有理數的絕對伽羅瓦羣的作用,因此是一個伽羅瓦表示。
有理數的伽羅瓦羣的元素(除去平凡元和共軛元之外),大多不在有理數上定義的複數簇上有連續作用,因此大多不在奇異上同調羣上作用。這一現象與拓撲空間的基本羣在奇異上同調羣上作用的事實有關,因為格羅滕迪克證明了伽羅瓦羣可以被視作某種形式的基本羣。
[2]
上同調運算霍赫希爾德同調
數學中,霍赫希爾德同調(Hochschild homology)是環上結合代數的同調論。對某些函子也有一個霍赫希爾德同調。這是以德國數學家格哈德·霍赫希爾德(Gerhard Hochschild)冠名的。
上同調運算代數的霍赫希爾德同調之定義
上同調運算伽羅瓦上同調
伽羅瓦上同調是現代代數數論的基石之一。
上同調運算在代數數論中的應用
上同調運算在代數幾何中的應用
伽羅瓦上同調關係到算術代數幾何中的許多重要問題,例如橢圓曲線上的整點個數。作為下降理論在平展拓撲上的應用,第一個伽羅瓦上同調羣分類了概形{\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}上的扭子,這是主叢在代數幾何上的推廣。藉着下降理論,可以用伽羅瓦上同調研究二次型式、中心單代數與 Severi-Brauer 簇等等結構。
[3]
上同調運算李代數上同調
在數學中,李代數上同調是李代數的一種上同調理論,由謝瓦萊和艾倫伯格為了對緊李羣的拓撲空間的上同調進行代數構造而建立。在上文提及的論文中,一個特定的被稱作Koszul復形的特殊復形,在李代數的模上定義,而其上同調則以一般形式被構造。
上同調運算動機
令G為一個緊李羣,則其被對應的李代數完全確定,因此由李代數來確定李羣上同調應為可能的。我們使用如下的構造。注意到李羣的上同調是G上的微分形式構成的復形對應的德拉姆上同調,而這個復形可以被替換為等變微分形式的復形,而後者則可以被看作帶有一個合適的微分算子的李代數的外代數。這一微分算子的構造對於任何李代數都成立,因此被用於定義所有李代數的李代數上同調。更加一般化地,我們可以用類似的構造來定義模係數的李代數上同調。
上同調運算定義
上同調運算德拉姆上同調
數學上,德拉姆上同調(de Rham cohomology)是同時屬於代數拓撲和微分拓撲的工具。它能夠以一種特別適合計算和用具體的上同調類的方式表達關於光滑流形的基本拓撲信息。它是基於有特定屬性的微分形式的存在性的上同調理論。它以不同的確定的意義對偶於奇異同調,以及亞歷山大-斯潘尼爾上同調。
上同調運算定義
任何光滑流形M上的光滑微分k-形式在加法之下形成一個交換羣(實際上也是一個實向量空間,稱為Ω(M)。外導數d給了以下的映射d:Ω(M) → Ω(M).下面是一個基本的關係d=0;這本質上是因為二階導數的對稱性。所以k-形式和外導數形成一個上鍊復形(cochain complex),稱為de Rham復形:
- 參考資料
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- 1. Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel, Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society), 1948, 63 (1): 85–124, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR 0024908, doi:10.2307/1990637
- 2. Hilton, P. J.; Stammbach, U., A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics 4 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-94823-2, MR 1438546
- 3. Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1867431, ISBN 978-3-540-42192-4, translation of Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).
- 4. Knapp, Anthony W., Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes 34, Princeton University Press, 1988, ISBN 978-0-691-08498-5, MR 938524
- 5. Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
- 6. J. P. May.代數拓撲簡明教程 第1卷:Springer,1999
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