伽羅瓦上同調

伽羅瓦上同調是現代代數數論的基石之一。

伽羅瓦上同調最早在1950年代被提出，主要與克勞德·謝瓦萊在類域論上的工作相關。這套理論的目的在以羣上同調“代數地”闡釋類域論，避免使用L-函數。哈瑟原理在伽羅瓦上同調的框架下能得到清晰的描述。

伽羅瓦上同調關係到算術代數幾何中的許多重要問題，例如橢圓曲線上的整點個數。作為下降理論在平展拓撲上的應用，第一個伽羅瓦上同調羣分類了概形 上的扭子，這是主叢在代數幾何上的推廣。藉着下降理論，可以用伽羅瓦上同調研究二次型式、中心單代數與 Severi-Brauer 簇等等結構。

一種重要的拓撲不變性質。可仿照線性空間的對偶空間的定義方式引入上同調羣。若K是一個n維單純復形，C_q(K)是q維整係數鏈羣，則同態c：C_q(K)→Z(整數加羣)稱為K的一個q維上鍊。對於任意兩個q維上鍊c和d，它們的和是這樣的上鍊，它在任意x_q∈C_q(K)上取值：(c+d)(x_q)=c(x_q)+d(x_q)，所有q維上鍊在上述加法下成為一個交換羣，它就是同態羣Hom(C_q(K)，Z)，稱為K的q維上鍊羣，記為C(K).為區別起見可把原來的鏈羣C_q(K)稱為下鏈羣.對於原來的邊緣同態可用對偶同態來定義上邊緣同態算子，設：_q+1： C_q+1(K)→C_q(K)，

定義δ：C(K)→C(K)，對於K的q維上鍊c，δc是一個q+1維上鍊，它在任意x_q+1∈C_q+1(K)上取值為：

δc(x_q+1)=c(_q+1x_q+1).

從而δ°δ=0(或寫成δ°δ=0).由此可定義C(K)的子羣：

Z(K)=ker δ　與　B(K)=Im δ，

分別稱為q維上閉鏈羣與上邊緣鏈羣。商羣：H(K)=Z(K)/B(K) (q∈Z)

稱為復形K的q維上同調羣，這些羣中元素分別稱為上閉鏈、上邊緣鏈與上同調類.相應原來的同調羣可稱為下同調羣。

設f：K→L是單純映射，f={f_q：C_q(K)→C_q(L)|q∈Z}是這單純映射誘導的鏈映射，f_q的對偶同態f：C(L)→C(K) (q∈Z)定義為，對於任意c∈C(L)，f(c)是K的q維上鍊，在K的q維鏈x_q上取值(f(c))(x_q)=c(f_q(x_q)).它滿足δ°f=f°δ，稱f為上鍊映射，因此f誘導出上同調羣之間的同態：f：H(L)→H(K) (q∈Z)(注意與f：K→L方向相反).同樣地，可研究鏈同倫、連續映射用單純逼近定理得到的誘導同態和類似於下同調羣之間誘導同態的性質，所以上同調羣也具有拓撲不變性、同倫型不變性.設K是n維單純復形，其上、下同調羣H(K)與H_q(K)的秩分別記為R與R_q，它們的撓子羣分別記為T(K)與T_q(K) (q∈Z)，則上、下同調羣之間有關係： ^[1] 

其中T_-1(K)理解為零羣。這表明上同調羣由下同調羣完全決定。

數論的一個重要分支，它以代數整數，或者代數數域為研究對象。不少整數問題的解決要藉助於或者歸結為代數整數的研究。因此，代數數論是整數研究的一個自然的發展。代數數論的發展也推動了代數學的發展。

代數數論主要起源於對費馬猜想的研究。費馬猜想(不定方程xⁿ+yⁿ=zⁿ(n>2)沒有xyz≠0的整數解)的證明可歸結為n=4及n為奇素數情形的證明。19世紀中葉，庫默爾試圖利用n次本原單位根ζ把方程寫成，從而證明費馬猜想。但這需要有一個前提，即在分圓域Q(ζ)(添加單位根ζ到有理數域上生成的擴域)中，“整數”也像普通整數一樣，可以唯一地分解成素數的乘積。但在狄利克雷的啓發下，庫默爾發現分圓域中的“整數”分解成素因子的乘積不具有唯一性。庫默爾因此引入了“理想數”概念，每個“理想數”可以唯一地分解成素因子的乘積，這樣建立了分圓域上的數論。戴德金把庫默爾的工作系統化並推廣到一般的代數數域，奠定了代數數論的基礎。

高斯關於二次域的研究是代數數論的另一個重要起源。1801年，高斯發表的著名著作《算術研究》，展示了他的一個傑出的思想：把有理數域和有理整數環上的許多初等數論問題，放到更大的域和環一一二次域和它的代數整數環上來研究，這也導致了代數數論的開端。

代數數論也是活躍的數學前沿理論。一方面是對一些古典問題得出新的結果。例如，1801年高斯曾提出過兩個猜想：(1)只有有限多個類數為1的虛二次域；(2)存在無限多個類數為1的實二次域。關於(1)，1934年，海布雷恩證明了當d(k)(k為有理數域的二次擴域，d(k)為k的判別式)→∞時，h_k(k的類數)→∞；1935年，西格爾證明了1966年貝克，1967年斯塔克證明了類數為1的虛二次域的虛二次域只有9個：d=1，2，3，7，11，19，43，67，163。猜想(2)仍在研究之中。另一方面就是不斷開闢新的研究領域，如數域的阿貝爾擴張理論。1898—1899年間希爾伯特提出一個著名的猜想：希爾伯特類域猜想，1907年富特文格勒證明了這個猜想。韋伯對推廣希爾伯特類域做了大量工作，例如，推廣了理想類羣的概念，得到一些全新的結果。1920年，高木貞治應用韋伯的理想類羣概念，推廣了希爾伯特的結果，建立了完整的類域論。現在類域論已發展成為極其重要的、成果甚豐的數學領域。

代數數論的一大特點是，不僅由它可解決一系列整數規律問題，而且它的成果幾乎可以用到每一個數學領域中。 ^[2] 

伽羅瓦是法國數學家。生於布拉倫，卒於巴黎。幼時受到良好的家庭教育。1827年開始自學勒讓德、拉格朗日、高斯和柯西等人的論著。不久遇到數學教師裏夏爾。裏夏爾很快發現了伽羅瓦的數學才能，在他的指導下，伽羅瓦開始了數學研究。1828—1830年，他得到許多後來稱為伽羅瓦理論的重要結果。1830年進入高等師範學校學習，由於參加政治鬥爭被學校除名，並兩次入獄。1832年5月，由於政治和愛情的糾葛，他在一次決鬥中被打死。伽羅瓦是近世代數的創始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質條件，建立了方程的根的“容許”置換。這些置換通過添加方程的根的域構成了自同構羣。他得到了代數方程能用根式求解的充分必要條件是自同構羣可解。他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦羣”和“伽羅瓦理論”都是近世代數所研究的最重要的課題。他的工作是19世紀數學中最傑出的成就之一。但是伽羅瓦生前並未獲得應有的榮譽。他在1829—1831年三次投到巴黎科學院的論文均被遺失或退回。在決鬥前夕，他給朋友謝瓦利埃寫了一封信，請求他把論文公諸於世，但沒引起人們的注意。直到1846年，伽羅瓦的附有劉維爾註釋的手稿才公開發表。1870年，若爾當在其著作《置換與代數方程論》中對伽羅瓦理論作了長篇論述。從此，伽羅瓦的工作才被完全理解。伽羅瓦理論對近代數學的發展產生了廣泛而深遠的影響。 ^[3]