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單純映射

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單純映射(simplicial map)是聯繫復形的多面體之間的一類重要映射。它是從復形K的多面體|K|到復形L的多面體|L|的連續映射，任何連續映射在某種意義下可用它逼近，可簡記為f：K→L(省去多面體|K|，|L|的記號)。單純映射是連續映射；單純映射由限制在頂點集上的映射f0=f|K0： K0→L0完全決定。反之，對於頂點集之間的任意映射f0，只要f0把K中任意單形的頂點集映成L中某單形的頂點集，它就惟一地確定一個單純映射f：K→L [1]  。
中文名
單純映射
外文名
simplicial map
所屬學科
數學
屬    性
聯繫復形的多面體之間的一類映射
所屬問題
代數拓撲學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 相關性質

單純映射定義

設
和
是兩個復形，從
到
的一個對應
(作為單形的集合之間的對應)稱為單純映射，如果它滿足下面兩個條件：
(1)若
是
的頂點，則
是
的頂點；
(2)若
是
中單形，則
的頂點集是
。
注意，
和
是兩個集合，對於每個
當然是一個單形，但是其頂點
並不要求互不相同。換句話説，
的維數
的維數，因此單純映射
實際上還滿足：
(3)
；
(4)
。
當(4)中等式成立時，稱
在
上是非退化的；否則，就稱
在
上是退化的。容易看出，當
在
上是非退化的時，
在
的所有面上均是非退化的，而且，如果
在
的所有真面上都是非退化的，那麼
在
上也必然是非退化的。
此外，不難看出，定義中的條件(1)實際上包含於條件(2)中，因為當
是
的頂點時，它實際上代表一個0-維單形，按照條件(2)，
的頂點集為
，這也就表明
是一個頂點。
從定義也不難看出，單純映射
實際上是由
在
上的作用完全決定的。由
誘導的映射
(即
在
上的限制)稱為由
決定的頂點映射。反過來，一個滿足適當條件的頂點映射
也能夠確定一個單純映射 [2]  。

單純映射相關性質

命題1 設
和
是兩個給定的復形，
是一個頂點映射，如果
滿足如下條件 [2]  ：
“當
是K中某個單形的頂點集時，
也是K中某個單形的頂點集”。則
確定唯一一個單純映射
，其誘導的頂點映射正是
。
這個單純映射
也稱為由頂點映射
擴張而得的。
命題2 若
是單純映射，則映射
連續。
證明： 利用粘接引理，只需證明
是連續的即可。不妨設
，設
，則
，可見
是一個線性函數，因此是連續的。由於每個單形
都是
的閉集，且只有有限個單形，故由粘接引理知，
連續 [2] 
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第二卷：中國科學技術出版社，2002
  • 2.    江輝有．拓撲學：機械工業出版社，2013.03