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復形
鎖定
- 中文名
- 復形
- 外文名
- complex
- 所屬學科
- 同調代數
復形定義
復形單純復形
復形基本介紹
單純復形(simplicial complex)亦稱幾何單純復形,是單純同調論中的一個基本概念,是用單形構造的並且按一定規則組成的圖形,它是定義一類拓撲空間的工具。
復形單純復形的定義
下面用單形構造更復雜的圖形——復形:
定義 K是單形的有限集合。如果K滿足
(1) 若
是K的單形,則
的任意麪都屬於K;
(2) K中所有有單形都規則相處(見下文“規則相處”的介紹);
復形單純復形的連通性
單純復形的連通性(connectivity of simplicial complex)是拓撲空間的連通性在復形上的推廣。若復形K不是兩個非空不相交的子復形的並集,則稱復形K是連通的。若L是復形K的連通子復形,並且L不是任何其他連通子復形的真子復形(實際上L是K的極大的連通子復形),則稱L為K的一個連通分支,復形K的連通性等價於下列各條件
[2]
:
1.對於復形K中任意頂點a與b,存在K的一系列頂點
,使得
都是K的1維單形
。
2.復形K的多面體
是道路連通的。
3.復形K的多面體
是連通的。
任意復形K都是有限個互不相交的連通分支
的並,因此多面體
是相同個數互不相交的連通分支
的並,若單純復形K是
個連通分支
的並集,則各維同調羣
有下列直和分解
復形單純形
復形單純形
設
是Rn中佔有最廣位置的
點,而
,則我們稱點
的集合
定義對於q維單形
,稱
的(
)個頂點中的
個點
所構成的
維單形
為
的一個r維面,
的0維面就是頂點,把1維面稱為稜。
例1考慮3維單形
,對於點
,就有
,
例如,
維面,
為稜,
為面,
為體,如圖1所示。
復形有向單形與無向單形
當
時,
的
點有
個排列,它們決定同一個
,這樣的單形
被稱為無向單形,在
排列中,有一半是偶置換,一半是奇置換,因而這兩個置換等價類構成了
兩個定向,指定一個定向單形稱為有向單形,簡記“
”=
,這裏指頂點次序為
的有向單形;另一個定向單形記作“
”=
,以單純形作為構件,可以組成單純複合形、多面體和鏈。
復形單純複合形(復形)
如果
或是一個公共面,則單形
和
是規則相處的,如圖2所示,否則是不規則相處的,如圖3所示。
設W是Rn中有限個單形集合,如果W滿足下列兩個條件:
(1)如果
,
的任一面也屬於W;
(2)W的任意兩個單形
和
規則相處,
復形有向單形的基本組
設W是一個n維復形,它的全體無向單形
復形鏈
設
為n維復形W的一個基本組,對於
,形式地定義
復形鏈邊界
如果把邊界算子
擴展到有向單形和復形上去,則有下面的鏈邊界。
定義對於任意q維有向單形
,我們定義(
)維鏈
: