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單形

鎖定
單形是由對稱要素聯繫起來的一組晶面的總合。理想狀態下,屬同一單形的各個晶面必定是同形等大的。單形的每個晶面,與對稱型中相同的對稱要素具有相同的空間關係。從單形的一個晶面,可以通過對稱型中全部對稱要素的作用,將該單形的全部晶面推導出來。 [1] 
中文名
單形
外文名
simple form
適用領域
平面設計等
所屬學科
數學幾何
定    義
由對稱要素聯繫起來的晶面的總合

單形概念

圖1單形 圖1單形
同一單形的所有晶面彼此都是等同的。所謂等同,是指它們具有相同的性質以及在理想的情況下晶面彼此同形等大。如圖1中所示的單形為立方體,它的六個正方形晶面同形等大,通過其對稱型中的對稱要素的作用可以相互重複。 [2] 

單形幾何單形種類

總結起來,在幾何形態上不同的單形共有47種,稱為幾何單形。 [2] 
47種幾何單形如下:
低級晶族:單面,平行雙面,反映雙面及軸雙面,斜方柱,斜方四面體,斜方單錐,斜方雙錐。
中級晶族三方柱,復三方柱,四方柱,復四方柱,六方柱,復六方柱;三方單錐,復三方單錐,四方單錐,復四方單錐,六方單錐,復六方單錐;三方雙錐,復三方雙錐,四方雙錐,復四方雙錐,,六方雙錐,復六方雙錐;四方四面體,菱面體,復四方偏三角面體,復三方偏三角面體;三方偏方面體(具左、右形),四方偏方面體(具左、右形),六方偏方面體(具左、右形)。
高級晶族:四面體三角三四面體,四角三四面體,五角三四面體(具左、右形),六四面體;八面體三角三八面體四角三八面體,五角三八面體(具左、右形),六八面體;立方體,四六面體菱形十二面體五角十二面體,偏方復十二面體。

單形結晶單形

如果不僅考慮幾何形態,同時還要考慮其對稱性的話,則單形共有146種,稱為結晶單形。 [3] 

單形單形符號

單形符號簡稱形號,它是指在單形中選擇一個代表面,把該晶面的晶面指數用{}括起來,用以表徵組成該單形的一組晶面的結晶學取向的符號。 [4] 
單形是由對稱要素聯繫起來的一組晶面晶軸是在服從晶體固有對稱性的前提下,依對稱要素選擇的。因此,同一單形的各個晶面與晶軸都有着基本相同的相對位置。 [5]  如圖I中的立方體的每一個晶面都與一個晶軸垂直而與另兩個晶軸平行;八面體的每一個晶面都截三個晶軸等長。因此,同一單形的各個晶面的指數的絕對值不變,而只有正負號的區別。如立方體有六個晶面,其晶面符號應分別為(100)、(010)、(001)、(-100)、(0-10)、(00-1)(在圖Ia中後三個晶面符號末標出);八面體有八個晶面,其晶符號應分別為(111)、(1-11)、(11-1)、(1-1-1)、(-111)、(-1-11)、(-11-1)、(-1-1-1)(圖Ib中後四個晶面符號未標出)。知道了單形的一個晶面的符號,則該單形的其它晶面的符號即可導出。因此,可以選擇一個代表晶面,定出單形符號,如立方體的形號為{100},八面體的形號為{111}等。
習慣上,選擇代表晶面定形號時,一般是選擇正指數最多的晶面,同時還遵循先前(即x軸上指數最大)、次右(即Y軸上的指數次大)、後上(即z軸上的指數最小)的原則。
各種單形的形號列於表I-6-1。依據形號,可以幫助我們識別聚形中的單形。

單形單形的推導

單形的各個晶面既然可以通過對稱型對稱要素的作用相互重複,那麼將一個原始晶面置於對稱型中,通過對稱型中全部對稱要素的作用,必可以導出一個單形的全部晶面。 [3] 
可以設想,不同的對稱型可以導出不同單形;在同一對稱型中原始晶面與對稱要素的相對位置不同,也可以導出不同的單形來。

單形幾何單形

幾何單形共47種。從不同的角度出發,又可將它們做如下的幾種劃分。
一般形與特殊形,開形和閉形,左形和右形,正形和負形,定形和變形
圖2單形 圖2單形
(1)一般形與特殊形,這是根據單形晶面與對稱要素相對位置來劃分的。凡是單形晶面處於特殊位置,即晶面垂直或平行於任何對稱要素,或者與相同的對稱要素以等角相交,則這種單形即稱為特殊形;反之,單形晶面處於一般位置,即不與任何對稱要素垂直或平行(等軸晶系中的一般形有時可平行三次軸的情況除外),也不與相同的對稱要素以等角相交,則這種單形稱為一般形。
一個對稱型中,只可能有一種一般形,晶類即以其一般形的名稱來命名(參看晶體分類)。各對稱型中所列出的第一個單形即為該對稱型的一般形。
(2)開形和閉形
根據單形的晶面是否可以自相閉合來劃分,凡是單形的晶面不能封閉一定空間者稱開形,例如平行雙面、各種柱等等;反之,凡是其晶面可以封閉一定空間者,則稱為閉形.例如各種雙錐以及等軸晶系的全部單形等等。
(3)左形和右形
圖3單形 圖3單形
互為鏡象,但不能以旋轉操作使之重合的兩個圖形,稱為左右形。從幾何形態來看偏方面體、五角三四面體和五角三八面體都有左形和右形之分。識別它們的左右可採用如下的辦法。
對於偏方面體,可以上部晶面的兩個不等長的邊為準,長邊在左者為左形,長邊在右者為右形。
圖5單形 圖5單形
對五角三四面體(圖2),在其兩個L3的出露點之間可以找到由三條晶稜組成的一條折線,我們還可以聯繫兩個L3的出露點再作一條假想的直線來輔助觀察,若組成折線的最下邊的一條晶梭偏向左上方,即為左形;反之,即為右形。對於五角三八面體(圖3),在其兩個L4的出露點之間也可找到由三條晶稜組成的一條折線,我們再聯繫該兩個L4的出露點作一條假想直線來輔助觀察,若折線中最上邊的一條晶稜偏向直線的左下方,即為左形;反之,則為右形。左右形只出現於僅具對稱軸而不具對稱面對稱中心旋轉反伸軸對稱型中。若不僅考慮外形而同時考慮其本身的對稱性的話,則屬於這類對稱型的全部單形應均有左形和右形的區分。
(4)正形和負形
圖4單形 圖4單形
取向不同的兩個相同的單形,如果相互間能借助旋轉操作而彼此重合者,則互為正負形。例如圖4和圖5分別表示出四面體和五角十二面的正形和負形,它們的負形相當於正形旋轉了90。。
(5)定形和變形
一種單形其晶面間的角度為恆定者,屬於定形;反之,即為變形。屬於定形者有單面、平行雙面、三方柱、四方往、六方柱、四面體、立方體、八面體菱形十二面體九種單形;其餘單形皆為變形。以變形五角十二面體為例,它的面角隨晶面指數的不同而變化。
參考資料
  • 1.    劉顯凡.礦物學簡明教程:地質出版社,2010年
  • 2.    毛其吉, 左銓如. 切點單形的一個幾何不等式[J]. 數學的實踐與認識, 1987(4):73-77.
  • 3.    趙文霞, 陳敬中, 萬安娃. 準晶體的對稱型(點羣)和單形[J]. 地球科學, 1993(s1):25-41.
  • 4.    陳士龍. 關於單形穩定性的幾何不等式的改進[J]. 商丘師範學院學報, 2014(3):19-22.
  • 5.    李俊傑, 趙玉. 晶體模型中對稱軸的查找方法[J]. 產業與科技論壇, 2012, 11(23):75-75.