扎里斯基拓撲

代數幾何中，扎里斯基拓撲是代數簇與概形的研究中使用的一種拓撲。

扎里斯基拓撲往往用指定空間中的閉子集的方式來定義。仿射空間A中的扎里斯基閉集就是某一族多項式的公共零點集。從A的扎里斯基拓撲就可誘導得代數簇的扎里斯基拓撲。對於一個仿射概形Spec A，把扎里斯基閉集取為：

V(I)={p∈Spec A|p∈I}，

其中I是環A的一個理想。類似地即可得到概形的扎里斯基拓撲。扎里斯基拓撲是很弱的拓撲，因此有時在概形的研究中要使用更強的平展拓撲。當基域是複數域時，有時要使用通常的復拓撲。

設A為交換幺環，其素譜為Spec A。則Spec A在扎里斯基拓撲是緊空間。 ^[6] 

仿射簇V上的扎里斯基拓撲具有一個由仿射開集組成的基。 ^[7] 

給定扎里斯基拓撲的仿射空間不是豪斯多夫空間。 ^[6] 

設S是一個概型，φ是概型X到S的態射，則稱X是一個S-概型，如果S=SpecR，則稱X是一個R-概型。設f是概型X到Y的態射，如果△_X/Y： X→X_xYX，x→(x，x)是閉的浸入，則稱X在Y上可分，若Y=SpecR，則稱X是可分的。態射f：X→Y稱為有限型的，如果存在Y的仿射開覆蓋{Y_λ|λ∈∧} 使得每個X_λ=f(Y_λ) 可以被有限個仿射開子集覆蓋，而X_λj=SpecB_λj，Yλ=SpecA_λ每個B_λj是有限生成的A_λ代數。若X→SpecR是有限型的，則稱X是R-代數的。設k是一個代數閉域，V是一個整的，可分的在k上代數的k-概型，則我們稱V是k上的一個代數簇。設(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是態射，如果→f=φ，則稱f是S-態射。設X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密開子集，φ：U→Y是R-態射}，在E上引入等價關係 (U，φ)～ (V，φ) 當且僅當對於U∩V的某個稠密開子集W，|w=Φ|W。E/～的元素稱為有理映射，若Y=Spec_R[X]，則稱為有理函數，X上所有有理函數的集合記作Rat_R(X)。若V是域k上的代數簇，則Rat_R(V)稱為V的函數域。設f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，則稱f是控制的。設V，W是代數簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恆等映射，則稱f是雙有理映射。V到V的所有雙有理映射作成一個羣，稱為V的雙有理同構羣。如果有V到W的雙有理映射，則稱V與W雙有理等價。一維的代數簇稱為曲線，二維的代數簇稱為曲面。曲面S上的曲線C是曲面S的一維閉子簇。 ^[4] 

所謂概形，是指代數幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間。更精確地，概形(X，O_X)是一個環空間，其拓撲空間X有一個開覆蓋{X_i}_i∈I，使得(X_i，O_X|X_i)同構於仿射概形Spec Γ(X_i，O_X)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態射就是局部環空間的態射。概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇。若概形X有一個仿射開覆蓋{X_i}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的。這些性質都是概形的局部性質，就是説，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質。若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的。

在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形。帶有態射f：X→S的概形X稱為S概形。若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態射S′→S後，可以得到一個S′概形X_S′=X×_SS′，稱為S概形X的基擴張。與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念。S概形與態射f：X→S密切相關。不同性質的態射就給出了不同的S概形。例如，設f：X→S是一個態射，若對角浸入X→X×_SX是閉態射，則稱f是分離態射；若存在S的一個仿射開覆蓋{U_i}={Spec B_i}，使得每個f(U_i)都有一個有限仿射開覆蓋{V_ij}={Spec A_ij}，並且A_ij都是有限生成B_i代數，則稱f是有限型的；若f(U_i)=Spec A_i，A_i都是有限生成B_i模，則稱f是有限態射。有限態射是仿射態射。代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。 ^[5] 

扎里斯基是美國數學家。生於俄國庫勃林，卒於美國坎布里奇。1918—1920年，就讀於基輔大學。1921年，到意大利比薩大學學習，半年後轉到羅馬大學，1924年獲博士學位。1924—1927年，留校做博士後研究。1927年，到美國約翰斯·霍普金斯大學任教，至1945年.1936年入美國籍。1946—1947年，任伊利諾伊大學研究教授。1947年起，任哈佛大學教授，1969年退休。943年，被選為美國全國科學院院士；1948年，被選為美國藝術與科學學院院士；1960—1961年，任美國數學會副主席，1969—1970年任主席。

扎里斯基的貢獻主要在代數幾何領域，特別是參與了重建代數幾何基礎的工作。早期研究代數、數論等，1927—1935年，轉而研究代數簇拓撲，特別是基本羣。當時人們認為所有具固定個結點的固定度平面曲線屬於一個代數簇，但他發現了具有固定度和固定個奇點的曲線可能屬於若干個簇，並給出了例子。1939年，他給出了代數曲面奇點解消的純代數證明。1944年，他第一次證明了三維代數簇奇點的解消。他還引入了正規簇和簇的正規化概念，現已成為代數簇理論的基礎。1940年，他首次證明了任意維(特徵p=0)代數簇局部單值化的存在性，並導致他引入了在簇V上的拓撲，現稱為扎里斯基拓撲。他在1935年出版的專著《代數曲面》是他重建代數幾何的開始。他逐步把抽象代數思想引入了代數幾何，最終與範·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)和韋伊(Weil，A.)一起重建了代數幾何的基礎。他到哈佛大學以後，使該校成了世界代數幾何的中心。1944年曾獲美國數學會科爾獎，1965年獲美國國家科學獎章，1981年獲美國數學會斯蒂爾獎，並於1982年獲沃爾夫數學獎。他還著有《代數曲面理論引論》(1969)和其他一些專著。1972—1979年，出版了他的四卷本文集。 ^[2] 

拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T;

2.T中任意兩個成員的交屬於T;

3.T中任意多個成員的並屬於T;

則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。

設T₁與T₂為集合X上的兩個拓撲。若有關係T₁T₂，則稱T₁粗於T₂，或T₂細於T₁。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。

設X是一個非空集合，X的冪集的子集（即是X的某些子集組成的集族）T稱為X的一個拓撲。當且僅當：

1．X和空集{}都屬於T；

2．T中任意多個成員的並集仍在T中；

3．T中有限多個成員的交集仍在T中。

稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。

稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。

定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）

從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。

一般説來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此説到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。

同時，在拓撲範疇中，我們討論連續映射。定義為：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定義的拓撲）是連續的當且僅當開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚當且僅當存在一一對應的互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。 ^[3]