概形

給定一個局部戴環空間

，

的一個開集

稱為仿射開集，如果

是仿射概形。

稱為概形，如果

的每一點

都有仿射開鄰域，即包含

的仿射開集。

兩個概形之間的態射就是它們作為局部戴環空間的態射。

概形X的維數dimX為X作為拓撲空間的維數。如果X=Spec A為仿射概形，則X的維數和A的克魯爾維數相同。 ^[3] 

存在態射X→Spec A的概形X稱為A上的概形或A概形。由於任意環都是

上代數，任何概形都是

概形。從這個角度來看，A概形是概形的推廣。

概形X與Y之間雙有理等價，若其擁有同構稠開集。 ^[4] 

環A的素譜Spec A為概形。 ^[4] 

概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為“預概形”（法語：préschéma，英語：prescheme），1967年左右改稱現名。

直觀上説，概形是由仿射概形粘起來得到的，正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。

概形間的態射就是局部環空間的態射。概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇。若概形X有一個仿射開覆蓋

，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的。這些性質都是概形的局部性質，就是説，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質。若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的。

在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形。帶有態射

的概形X稱為S概形。若

是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態射

後，可以得到一個S'概形

，稱為S概形X的基擴張。與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念.S概形與態射

密切相關.不同性質的態射就給出了不同的s概形.例如，設

是一個態射，若對角浸入

是閉態射，則稱f是分離態射；若存在S的一個仿射開覆蓋

，使得每個

都有一個有限仿射開覆蓋

，並且

，都是有限生成B，代數，則稱 ^[1]  f是有限型的；若

，A都是有限生成B模，則稱f是有限態射。有限態射是仿射態射.代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的 ^[2]  。